10 Hj. Mellin. 



samt att x är en réel och xiositiv storhet. Föregående oUkhet innebär tydU- 

 gen att integranden, så när som på faktorn 



(12) ff^^Y.-^=(?^^.^"^ 



V'i ■■■hn I \ki ■■■k„ 



är en rationel funktion, hvars tälj ares gradtal är mindre än nämnarens. Tages 

 denna omständighet i betraktande äfvensom att uttrycket (12), emedan x en- 

 hgt antagandet har ett j^ositivt varde, till sitt absoluta belopp icke växer 

 öfver en viss ändlig gräns, då rektangelns med reela axeln parallela sidor 

 aflägsna sig i oändlighet, så inses utan vidare att motsvarande integi^aler närma 

 sig gränsen noll. Likheten (11) öfvergår sålunda för « = » uti ^) 



Vi kunna ännu ytterligare ådagalägga, att äfven den ena af de två sena- 

 ste integralerna är noll, nämligen den första om storheten 



(14) j—7k~- 



är mindre än eller lika med 1, den andra om samma storhet är större än 

 eller lika med 1, och således båda på en gång om densamma är lika med 1. 

 Ur den föregående härledningen af likheten (13) framgår, att den första 

 integralen är oberoende af a, sålänge a är i algebraisk mening större än de 

 reela delarne af -«i , . . . , -«„, , samt den senare oberoende af c, sålänge a är 

 mindre än de reela delarne af -«i -k^ ,...,-«„ -k,„ . Låt oss antaga att storheten 

 (14) är < 1 och föreställa oss att talvärdet af c. obegränsadt växer, d. v. s. 

 att integrationsvägen för den senare integralen obegränsadt förskjutes i negativ 

 riktning. A ena sidan förblir, såsom sades, integralen derunder till sitt värde 

 oförändrad. A andra sidan kan faktorn 



yCi • • • Km j 



så när som på hvilken integranden är lika med en rationel funktion R{s), 

 derunder till absoluta beloppet icke växa öfver hvarje gräns. Den senare in- 

 tegralen är derför vid lämpligt val af konstanten C icke större än ^) 



') För att uti (13) hvardera integralen fijr sig säkert skall ha en best. ändl. bemärkelse 



böra vi, emedan integrationsvägarne ha oändlig utsträckning, förutsätta att (/'i + I)H |-(/(«-|-l) 



med minst två enheter understiger (fci+l)H -1-(A:»,+1). 



") Med f\It{z)dz\ förstå vi gränsen för ^ ] iî (^)d« | . 



