14 Hj. Mellin. 



Likheten (16) kan följaktligen skiifvas på följande sätt 



-1=1 



Ett anuiärkningsvärdt specielt fall uppkommer, om man antager att 

 X - k"'~". Enligt § 2 är integralen och följakf/tgen äfven högra memhrum af 

 (19) noll för x = k"'-". 



Ur (18) följer, enär Umii{zJ;) = r{z), att 



/•■=00 



(20) Jun iM"'r:^L^„ = ^^ (H:«i)j_:-Z(H:^'iO 



A,=ao R (s) 7? (s+ 1) • • • 7? (: +/r) r {z + h^) ■ ■ ■ r(z+b,.) ' 



5. Vi öfvergå nu till formler, som till det yttre något af vika från de 

 föregående, men som synas A^ara af ett ännu större intresse än de förra. 

 Låt fJ(z,l.-) ha samma betydelse som förut och låt oss bilda uttrycket 



(21) F(^ = n(z-a„l,)...n(z-a„„k)n(i + b, -z, lc)...J/(l+b„ -z, k) . 



Detta uttryck är, så när som på faktorn /c'"'~"^% en rationel funktion af s, 

 hvars oändlighetsställen utgöras af termerna i de m afbrutna aritmetiska se- 

 rierna 



(22) ciç, a^-i,---ag~k, Q = 1,2,... ,m 



samt af termerna i de u jemväl afbrutna aritmetiska serierna 



(23) öe + i,/'e+2,--,ep+/c+i,e r= 1,2,....«. 



Jag önskar att det tinnes en med imaginära axeln parallel zon eller 

 strimma, deruti F(£) förhåller sig regulärt och som åtskiljer punktmängden 

 (22) från punktmängden (23), huru stort än k må vara. Jag antager derför 

 att den reela delen af livar och en af storheterna a^, ... , «,„ är i algebraisk 

 mening mindi-e än den reela delen af hvar och en af storheterna bi, ... ,b„. 

 Om då a är ett reelt tal, som är större än de reela delarne af «i , . . . , a„, men 

 mindre än de reela delarne af hi,...,b„, så förhåller sig uttrycket (21) regu- 

 lärt i omgifningen af hvarje punkt 5; = i -|- e £' inom och på gränsen af parallel- 

 strimman («<t<« + i), hvilken tillika åtskiljer de tvänne punktmängderna 

 (22) och (23) sålunda, att den förra faller på negativa och den senare på 

 positiva sidan om nämda strimma. 



