Om definita integraler. 15 



Låt oss antaga, att x har ett reelt och positivt värde samt att a är ett 

 reelt tal, som uppfyller vilkoret a<,a<cc + i. Då har uppenbarligen integralen 





ett ändligt värde, om integrationen utsträckes öfver den obegränsade till nyss 

 nämda strimma hörande räta linier C= a. Denna integral jemföra vi nu med 

 de värden som integralen 



■"O* 



~.ÇF(z)x-'dz 



erhåller, då integrationen utsträckes öfver tvänne andra obegränsade mot reela 

 axeln vinkelräta Unier t, -q och l=p, hvilka antagas emellan sig innesluta 

 samtliga oändlighetsställen (22) och (23) för F {£). Vi antaga således att q 



uti integralen 



Î+100 



^.Jz(.);r-^rf. 



är mindre, samt f uti integralen 



p+i<» 

 ^. J F{z)^ulz 



p—i CD 



större än de reela delarne af samtliga storheterna a och b. Genom använd- 

 ning af den Cauchyska satsen om residuerna och genom förmedling af rektang- 

 lar, hvilkas med reela axeln parallela sidor aflägsna sig i oändlighet, erhållas 

 lätt följande likheter 



(24) i- / Fi^ ^^äz = £ 5; A^;^ + ^. J F(.) .-^äz , 



(»— ioo P— ' I"'—" q—iOD 



a + lOO „ ;;. p+iœ 



(25) ai / ^("-) ^''^ -~n «r + ai f ^(^) ■-^'^^ ' 



a— 100 p_l )i_0 ^ — j-QQ 



der residuerna A, B ha följande värden 



'—x\'''n\ TI' " 



A'P = lim (.-«, + v) Fiz) x-^ = x-ç ( j) r n n{aç~a,-v, /,) ]] /7(i +h,-a^ + v, U) 



^ ' ^ ' 1=^ A=i 



