16 Hj. Mellin. 



under förutsättning, att oändliglietsställena för F (z) alla äro af första ordnin- 

 gen. För att detta sistnänida må vara fallet, hvilket positivt heltalsvärde k 

 än har, skola vi antaga, att hvarken någon af skilnaderna emellan två och 

 två af storheterna a^,... , «„, eller någon af skilnaderna emellan två af storhe- 

 terna hl,... ,h„ är lika med något helt tal. Deremot får skilnaden emellan ett 

 b och ett a vara ett helt tal. 



Genom betraktelser, som redan användes i § 2, kan härefter ådagaläggas, 

 att integralen i högra membrum af (24) är noll ifall x<k"'~", och integralen 

 i högra membrum af (25)^ noll ifall x^k"'~", och således båda integralerna på 

 en gång noll ifall x = k"'~". 



Således är 

 (26) -^. I X- n ni,-a„k) n II(i+h,-z,k)dz 



0=1 "=0 A=^ ^~^ 



om x>k' 

 t e=i "=0 i.-^ ^~^ 



Särskildt anmärkningsvärda äro de fall då m - n. Då gäller den förra 

 likheten om x £ i och den senare om a; ;> i . 



Vi antaga nu att k obegränsadt växer, under det att x bibehåller ett 

 positivt värde. Ifall m = n böra vi begagna oss af den förra eller senare lik- 

 heten (26), allt efter som r» är ^ i eller <: i . Men om m och n äro olika så 

 blir k"'~" slutligen >x eller <x, allt efter som skilnaden m-n är positiv 

 eller negativ. I förra fallet kunna vi blott begagna oss af den förra och i 

 senare fallet blott af den senare likheten (26). I de båda sista fallen (msw) 

 bestämmer x således icke, hvilken likhet som bör användas. I dessa fall blifva 

 också serieutvecklingarne, såsom af det följande synes, beständigt konverge- 

 rande, under det att de, om m = n, ha ett begränsadt konvergensområde. 



Beaktas nu formlerna 



lim n (z, k) = r(z), lim ^(k\^l_ 

 så erhålles med ledning af det ofvan sagda: 



