18 Hj. Mellin. 



Vi skola icke uppehålla oss vid några betraktelser, hvarigenom de nyss 



verkstälda gränsöfvergångarne kunde göras fullt bindande. Griltiglieten af de 



senaste likheterna ådagalägges nämligen enklast derigenom, att man, utgående 

 från integraluttrycket 



rt-t-lGO 



(27) 2^. J r(z-a,)-.-r(,-a„.)r(i+h,-,)...r(i + h,.-z)x-'ds, 



« —i 00 



först och främst öfvertygar sig derom, att detsamma har en bestämd betydelse, 

 samt derefter visar, att det kan framställas genom någon af de under I, II, 

 III förekommande serieutvecklingaine. 



Emedan integraluttrycket (27) är det anmärkningsvärdaste i sitt slag och 

 då det i litteraturen härintills icke torde ha blifvit behandladt af andra, så 

 skola vi i det följande på angifvet sätt härleda formlerna I, II, III samt 

 dessutom framhålla några andra anmärkningsvärda egenskaper hos samma ut- 

 tryck (27). 



Det bör betonas att de efterföljande betraktelserna, ifall motsatsen icke 

 uttryckligen namnes, äro oberoende deraf, om skilnaderna emellan två af stor- 

 heterna a eller två af storheterna h äro hela tal eller icke. Tills vidare be- 

 teckna således «i , ■ • • , «„, , ^i , • • • , &„ alldeles godtyckliga tal. Längre fram skola 

 de underkastas vissa Ailkor. 



6. Låt oss för korthetens skuld sätta 



G (z) = r{z-a,) ■ ■ -riz-a.,,) r(i+b,-z) ■ ■ ■ r{i+b,-s) 

 samt i allmänhet betrakta integralen 



(28) ^.j G(.).-ul^, 



r— /00 



der c betecknar ett reelt tal. Det är nu framför allt af vigt att man öfver- 

 tygar sig derom, att denna integral alltid har ett ändligt värde, i händelse c 

 icke är lika med den reela delen för något oändlighetsställe till G (^). Detta 

 kan ske i stöd af en egenskap hos gammafunktionen, bestående deruti, att om 

 reela delen af variabeln s = Z + it inskränkes inom tvänne godtyckliga men 

 ändhga gränser {a<'C<ß), under det att imaginära delen till absoluta belop- 

 pet obegränsadt växer, kommer absoluta beloppet af r{z) att aftaga mot noll 

 i enlighet med likheten 



