Om definita integraler. 19 



(29) |^(^)| = l^^-^ic-f!S■^ (1/^+0, 



der i betecknar en variabel, som för obegränsadt växande | T [ nännar sig 

 gränsen noll ^). Häraf följer att om reela delen af 2 inskränkes inom tvänne 

 godtyckliga men ändliga gränser, nnder det att imaginära delen till absoluta 

 beloppet obegränsadt växer, kommer uttrycket G (s) att aftaga mot noll i en- 

 lighet med likheten 



(30) I G {z) I - I /+^'"-"' (^-=) I . ,-("■+")? ! S' 1 . 5> , 



der X = ii + ^2 + --+^»-(% + ''2+ ■•• + «m) samt (J> betecknar en variabel, som 

 med växande ! T i närmar sig ett ändlig-t från noll skildt gränsvärde, hvilket 

 emellertid kan utfalla olika allt efter som T växer genom positiva eller nega- 

 tiva värden. 



Uti (28) är 'j:~" = e~~ '°* ' egentligen ett mångtydigt uttryck. Låt oss 

 med \o(j X förstå den gren af denna funktion, som för positiva värden x är 

 reel, och låt oss, åtminstone till en början, ifrån området af den komplexa 

 variabeln x = Qe'^ utesluta de reela negativa talen. Om detta fastställes, så är 

 ic~' ett entydigt uttryck, som kan sättas lika med e"-e '"-, hvari argxmientet 

 för X uppfyller vilkoret 



— ar < e < -|- jr . 



Efter dessa förberedelser kunna vi nu öfvertyga oss derom, att integralen 

 (28) icke blott har en bestämd betydelse utan ock, inom det faststälda områ- 

 det för X, representerar en entydig gren af en analytisk funktion af x. Låt 

 oss inom sagda område taga i betraktande ett ändligt område (x), hvilket så- 

 ledes icke har någon punkt gemensam med negativa hälften af reela axeln. 

 För detta område (.<:) tinnes ett positivt tal &(<3r), sådant att argumentet för 

 X uppfyller vilkoret 



(31) -.T+^<e<ar-^. 



Sättes x~^ — Q~^ 0"'^^ och beaktas formeln (30), så kan tydligen absoluta be- 

 loppet af x~' G{z) uppfattas såsom en produkt af 



(32) ç-êeeS'-("'+")2-iS'l 



samt ett annat af x oberoende uttryck, h\ålket icke blir oändligt stort af högre 

 ordning än en viss lämpligen vald potens af s, ifall imaginära delen af ^; obe- 



') Beviset för denna sats finnes i Kap. I af Zur Theorie der linearen Differenzenijleichuwjen, 

 Acta Math. Bd. 15. 



