20 Hj. Mellin. 



gränsadt växer under det att reela delen förblir inskränkt inom ändliga men 

 för öfrigt godtyckliga gränser. Emedan ni + n>2 så är på grund af (31) 



« C - (m+n) Il r i < (^-») I r I - (/»+«) 7 : n ^ - ^ I r ! 



samt följaktligen faktorn (32) mindre än 

 (33) p-Sc-*IS'l, 



i hvilket uttryck ^ betecknar ett oföränderligt positivt tal. 



Emedan produkten af (33) samt en godtycklig potens af z har egenska- 

 pen att med växande T \ obegränsadt närma sig noll, ifall reela delen af ^ 

 förblir ändlig, så sluta vi på grund af det ofvan sagda, att jemväl produkten 

 af :ir' G (z) och m godtycklicj potens af z liar egenskapen att för alla till 

 området (;<•) hörande värden x likformiyt närma sig gränsen noll, ifall ima- 

 ginära delen af s obegränsadt växer under det att reela delen förblir inskränkt 

 inom ändliga men för öfrigt godtgckliga gränser. 



Häraf följer som bekant, icke blott att integralen 



f+ioo 



\.t~-d^ 



(■") ' i/''«' 



har en bestämd betydelse, ifall c icke är lika med reela delen af något oänd- 

 lighetsställe till G (z), utan äfven att samma integral inom området (;*:), d. v. s. 

 inom hvarje ändligt område som icke innehåller de negativa talen, represente- 

 rar en entydig gren af en analytisk funktion af x. 



I sammanhang härmed böra följande omständigheter icke lämnas obeak- 

 tade. Om uti uttrycket G(z) antalet faktorer r är större än 2, d. v. s. 

 m + n>2, så förblir exponenten o^' - (■m + w) f | TI negativ äfven om argumen- 

 tet för X faller utom de ofvan faststälda gränserna för detsamma, hvarföre inte- 

 gralen (34) bibehåller en bestämd bemärkelse äfven om variabeln x på en be- 

 stämd väg öfverskrider den negativa hälften af reela axeln. Man kommer då 

 in på en ny gren af den analytiska funktion, som delvis representeras af in- 

 tegralen (34). Ju stöi're värde summan m + n har, desto flera successiva gre- 

 nar af funktionen kan integralen framställa. Uppenbarligen bör argumentet 

 för X, för att integralen skall ha ett ändligt värde, uppfylla vilkoret 



- (m+n) j +^<,o< (m+n) f-^, 



der ^ betecknar ett godtyckligt litet positivt tal Detta vilkor är äfven till- 

 räckligt, ty då är 



