Om (lefinita integraler. 21 



e r - (m + n) f ! TI < ( 0» + '0 f - ^) T I - (»» + ") f I T ! = " «> ! T I 



samt följaktligen faktorn (32) mindre tän (33), hvaraf likasom förut följer, att 

 integralen (3-4) har ett ändligt värde. 



Om således argumentet för x uppfyller vilkoret 



-(HJ + )Oy + '^^<^ ^ ('« + ") f -^, 



så är detta ett tillräckligt vilkor för att integralen (34) skall ha ett ändligt 

 värde; ^ betecknar ett godtyckligt positivt tal som är <.t. 



En lätt i ögonen fallande egenskap hos integraluttrycket (34) är den, alt 

 för hvarje gång x rör sig ett hvarf omkring origo uttrycket efter integral- 

 tecknet blir muUipliceradt med e~'-^'~ eller e^"'', allt efter som rörehen sker i 

 positiv eller negativ riktning. 



7. L)en i föregående t; betraktade integralen är icke blott beroende af ./; 

 utan äfven af c. Allt efter som c väljes på olika sätt kommer äfven inte- 

 gralen att representera i allmänhet skilda analytiska funktioner. Lät oss jem- 

 föra med hvarandra tvänne sådana integraler. Det kan visas, aft skilnaden 

 dem emellan är lika med summan af residuerna för de oävdlighetsställen till 

 x"' G{s), som falla emellan båda integralernas integrationslinier. Låt nämli- 

 gen ? = c och C = d vara ekvationerna för integrationslinierna och låt oss be- 

 trakta integralen 



2stiJ ^ ' ' 



tagen längs begränsningen af en rektangel med hörnpunkterna d - i oj , d + im, 

 0+ ito, c-im. Denna integral är å ena sidan lika med en summa af inte- 

 graler, tagne längs de fyra sidorna, och å andra sidan, enligt en sats af 

 Cauchy, Hka med summan af residuerna för de oändlighetsställen till x~- G (z) 

 som falla inom rektangeln. Låter man nu w obegränsadt växa, så aflägsna 

 sig de sidor, som äro parallela med reela axeln, in intinitum. På grund af 

 hvad som i föreg. § bevisats angående uttrycket x^' G (/) , måste samtidigt de 

 integraler, som äro tagna längs dessa tvänne sidor, obegränsadt närma sig 

 noll. För OJ = CO fås således under förutsättning att c < d: 



-^. f G(z)x--d^ + ^ f Giz).v-^ds^y B^" 



d—iCfi 



