26 Hj. Mbllin. 



/'AQ\ 1-", ^ «, '—«m ^ "m / I- ■,\"' —T>, ^ 1 + *, -K ^ i + K , 



( 4d 1 a:- ' ^^ ,î' ' • ■ • ,î; "' -r- ,'r "' W = (- 1 ) x ■ x ' -^ x » • • • a; " -^x " (/' . 



Genom det vanliga intluktionsslutet üfvertygar man sig om giltigheten af 

 följande identitet 



Sättes t/ = x^, så fås följande i afseende å ^ identiska likhet 



(q + Cl) ■ ■ ■ {q + a,„) = ylo + ^i? + ^42ç(ç-i)+-+ç(ç-i)--(?-M«+ O 



som för Q = o, i,2,...,m-i gifver ett tillräckligt antal likheter för beräkning 

 af konstanterna A . 



Differentialekvationen (42) kan följaktligen bringas under formen 



(44) (Ao-Box)f + (A,-B,x)x^ + .--+(A,~B,x)x''^^=o, 



der p betecknar det af talen m, n, som icke är mindre än det andra. 



Man inser att punkterna x~o och a; = œ i alla händelser äro singulära 

 ställen till differentialekvationen. De äro ekvationens enda singulära ställen 

 om m och n äro oHka. Är deremot m = n, så har differentialekvationen dess- 

 utom ett singulärt ställe i punkten x = {-i)"', d. v. s. i punkten x—i eller i 

 punkten x = -i, allt efter som ekvationens ordningstal är jemt eller udda. 

 Anmärkningsvärdt är att detta ställe hkväl icke är ett singulärt ställe till 

 funktionen i/' eller rättare sagdt till den eller de grenar af funktionen, som 

 framställas af integralen (38). Härom kan man utan svårighet öfvertyga sig 

 i stöd af § 0. 



10. Emedan oändlighetsställena för G(/) bilda ett ändligt antal aritme- 

 tiska serier, så kan a uti intervallen (c<,a<,tx + i väljas så, att a-X och 

 a + (« för alla positiva heltaliga värden på X och j« icke äro lika med reela 

 delen af något oändhghetsställe för G{z). Enligt § 6 hafva då de båda in- 

 tegralerna 



"^'^^'^^åi f ^(^)^-^''~^ 



n-l-iCO 



och 



