28 Hj. Mellin. 



aJriCC 



(50) ^'^ (.) = ~. J G (r + /;) .r-"'V/. , 



«--1 00 



under li vilka former de lättare kunna jemföras med integralen ip (.r) . Sattes 



och beaktas gamraafunktionens funktionallikhet, så fås 



G(~-X) - (-0"'g(^) 



Det är sålunda de resp. faktorerna 



(51) 

 (52) 





x^ 



som skilja integranderna uti (49) och (50) från integranden uti «/'(k). 



Numera kunna de i § 5 under I, II, III framstälda serieutvecklingarne 

 lätt erhållas. Om nämligen m>n, så kommer uttrycket (51) för alla på in- 

 tegratioiisvägen t = « liggande värden z att med obegränsadt växande X likfor- 

 luigt närma sig gränsen noll, och detta eger rum oberoende af hvilket bestämdt 

 värde x än tankes ha. Följaktligen har äfven integralen (49) noll till gräns- 

 värde, hvarföre likheten (45) om man beaktar (47) öfvergår uti den i § 5 

 under I upptagna likheten. — Är m<n så erhålles på ett liknande sätt serie- 

 utvecklingen II. I båda dessa fall («ts«) erhållas tydligen beständigt kon- 

 vergerande serier, hvilket icke är fallet om m = n. 



Är m — n, så kommer uttrycket (51) att för växande I närma sig grän- 

 sen noll ifall \x\<\ , men deremot (52) att för växande ii närma sig samma, 

 ifall I a; I > 1 . I förra fallet har således integralen i/';^ och i senare fallet inte- 

 gralen ipfi noll till gränsvärde. Likheten (45) öfvergår derför om I a; i< i uti 

 den förra, samt likheten (46) om I « I > i uti den senare af de i § 5 under III 

 upptagna likheterna. 



11. Jag skall i denna § antaga att m>n. De serieutvecklingar (§ 5 1), 

 hvarigenom integralen tp (x) då framställes, äro beständigt konvergerande, i 



