Om definita integraler. 29 



fullständig öfveiensstämmelse dermed, att differentialekvationen för ip enligt § 9 

 i detta fall blott har tvä singulära ställen x — o och :«=;«. Dessa singulära 

 ställen äro emellertid at en väsenthgen olika art. Ty under det att differen- 

 tialekvationen i omgifningen af det förra stället besitter ett fundamentalsystem 

 rcf/iihira integraler, har ekvationen i omgifningen af det senare stället i 

 allmänhet icke några regulära integraler. Riktigheten af det förra påståendet 

 följer på grund af antagandet m>n ur formen för differentialekvationen (44). 

 Riktigheten af det senare påståendet är en följd deraf, att de i omgifningen 

 x = o existerande, och i allmänhet oändligt många termer innehållande serie- 

 utvecklingarne för integralerna i förevarande fall äro beständigt konvergerande 



samt fortskrida efter positiva potenser af x, d. v. s. efter negativa potenser af 

 1 



- = a; - 00 . 



Af ett särskildt intresse är således frågan: huru förhålla sig integralerna 

 till differentialekvationen då den oberoende variabeln x obegränsadt växer. Jag 

 skall vid ett annat tillfälle lämna det fullständiga svaret på denna fråga. 

 Denna gång skall jag endast angifva, huru den partikulära integralen i/^ (x) 

 förhåller sig för obegränsadt växande x. 



Enligt I. § 5 kan i/' (x) framställas genom ett uttryck af formen 



tp (x) = x~'\ %\ (.;) + ,6-". % (r) -(-... + x-n. %^,„ (, ) , 



der 'l-S , • • , l\, äro beständigt konvergerande potensserier, som fortskrida efter 

 hela och positiva potenser af a; . Af detta uttryck framgår nu på intet vis, 

 huru !/' (^) förhåller sig för obegränsadt växande värden på x . Enligt en 

 bekant sats veta vi blott, att en beständigt konvergerande potensserie f (x) i 

 livarje omgitning af stället x = » kan erhålla värden, som huru litet som helst 

 skilja sig från andra på förhand gotltyckligt uppgifna värden. Man kan så- 

 ledes bland annat tänka sig en sådan följd af obegränsadt växande värden på 

 X , att äfven de motsvarande värdena ^ (x) äro obegränsadt växande. På ett 

 liknande sätt förhåller i omgifningen af x = «> äfven produkten af ^}3 (j:) och 

 en godtycklig heltahg potens af x . Så mycket anmärkningsvärdare, för att 

 icke säga oväntad, är derför följande sats: Om variabeln x obeyransadt växer., 

 dock så att argumentet <j för x derunder ujjj^fyUcr vilkorct 



(53) _(„î + „)^ j^^^o£(ni + v)f-(^, 



der ^ betecknar ett godtycklvjt litet positivt tal, så närmur siij produkten af 

 integralen xp {x) och en lämpligen vald potens af x gränsvärdet noll. 



Det bör anmärkas att det vilkor, som i satsen pålägges argumentet för x , 

 enär m + n >- 3 , tydligen icke inskränker området för den oberoende variabeln 



