80 Hj. Mellin. 



och således icke heller på något vis hindrar de entydiga potensserierna ^ att 

 erhålla alla de värden som de öfverhufvudtaget kunna erhålla. Detta vilkor 

 inskränker hlott de mångtydiga uttrj^ckena a:~"e till vissa bestämda grenar af 

 desamma. Variabeln x fåi' exempelvis icke spii'alformigt närma sig x = œ . 



För bevisets skuld måste vi återgå till § 6 och särskildt observera, att 

 absoluta beloppet af x~^G(^s) kan framställas såsom produkt af 



(54) ç-ê.e''S'-""+"'f l^'l 



samt ett annat af x = Qe'" oberoende uttryck, låt oss kalla det <!)(?'), som 

 icke blir oändligt stort af högre ordning än en viss potens af s, förutsatt att 

 endast imaginära delen af ^ obegränsadt växer under det att reela delen för- 

 blir inskränkt mellan ändliga gränser. På grund af (53) är 



^ r -0«+«)! I r 1 <{im+v) I - ^) I r I - (m + «)f i r i = - ^ i n 



odi följaktligen faktorn (54) mindre än q''^ . t-^IS'i. Häraf följer, alldenstund 



ii + i'X) -t GC' 



«—100 —GO 



att 



-T KJJ 



Emedan senaste integral på grund af det ofvan sagda har ett ändligt och af 

 X oberoende värde, så inses att produkten x~''' ti' {x), om k väljes > - « , har 

 den i satsen angifna egenskapen att obegränsadt närma sig noll, ifall x obe- 

 gränsadt växer i enlighet med vilkoret (53). 



Denna sats kan tydligen anses innebära, att den eller de entydiga grenar 

 af ip(x), som framställas af integraluttrycket (38), i omgif ningen afx—cc 

 förhålla sig så som om de vore grenar af en regulär integral. 



Uti § 13 skola vi finna att difterentialekvationen för ;/' (-^) i ^^^''^ f'ill 

 besitter en annan partikulär integral, hvilken för växande x förhåller sig på 

 ett ännu anmärkningsvärdare sätt än ip (x). 



12. Jag antager fortsättningsvis att m>n. Låt oss ånyo betrakta for- 

 meln (46), deri storheterna 5^* äro bestämda genom (48). Låt oss i st. för 

 B^P införa de af x oberoende storheterna C^"^ = - x''^^\i:^' Bç'\ Formeln (46) 

 kan då skrifvas: 



