Om definita integraler, 33 



af § 10 för (f den i § 2 aiigifna serieutveckliiigen (17). hvari dock tecknet 

 för samtliga konstanterna a ocli I/ bör ombytas. 



14. Jag skall slutligen hos integraluttrycket (56) uppvisa en särskildt 

 intressant egenskap, livilken icke tinnes framhållen i Pincherles förut citerade 

 uppsats. 



I den händelse, att oändlighetsställena för det efter integraltecknet före- 

 kommande uttrycket F (z) alla äro af första ordningen, kan <f (;r) enligt föreg. 

 § framställas förmedels en serieutveckling af formen (17) d. v. s. af formen 



<f {j) = ./-". %\ (./) + x-". «Pa (x) + . . . + ^-".n %„ (.v) , 



der ^1 , . . . , '13 „, äro beständigt konvergerande seiier, som fortskrida efter posi- 

 tiva heltaliga potenser af x. Af detta uttryck framgår icke, huru (/ förhåller 

 sig för obegränsadt växande värden på x. Men med tillhjelp af integralut- 

 trycket för tp kunna vi bevisa efterföljande sats, som är ännu vida mäi-kligare 

 än den i § 11 angående integraluttrycket if' (x) bevisade satsen: 



Om variabeln x obegränsadt t^äxer, dock så att argumentet o för x der- 

 imder uppfyller vilkoret 



(59) - (m - «) !f + ^ < e ^ (w - w) f - ^ , 



der ^ betecknar ett godtyckligt litet positivt tal, så närmar sig integralen cf, (x) , 

 äfven om den multipliceras med en godtyckligt hög potens af x, gränsvärdet 

 noll. 



Ett specielt fall af denna sats är den bekanta satsen, att a;*'?"^ närmar 

 sig gränsvärdet noll, ifall x obegränsadt växer under det att argumentet för 

 X uppfyller vilkoret -^+^<e<f-^. 



Beviset är följande. Låta vi integrationsvägen för 



<P(j^ = i^j F(^.-^d. 



föl-flytta sig parallelt med sig sjelf ett godtyckligt stycke k i positiv riktning, 

 så undergår integralen enligt § 8 till sitt värde derigenom ingen förändring. 

 Således är 



'f^'^^^Ù^i f Fi^ + id^—'dz, 



