34 Hj. Mellin. 



livarur fås 



n + i'OO 



(60) .X*- f (r) = ^i j F(z + k) x-^ dz 



n—icc 



Emedan « får beteckna hvilket reelt tal som helst, som är större än reela 

 delarne af «i, •■•,'',„, så kunna vi antaga att u är positivt. Men är engång 

 a positivt, så inses, om man uti det i § 11 förda beviset (med beaktande af 

 8 8) ersätter talet m -f- n förmedels in - n , att högra membrum af (60) närmar 

 sig gränsvärdet noll, ifall absoluta beloppet af x obegränsadt växer under det 

 att argumentet uppfyller vilkoret (59). 



Antages m - n ^ 3 , så kommer det vilkor, som i satsen pålägges argumen- 

 tet för X, tydligen icke att inskränka området för variabeln x och således icke 

 heller att hindra de entyduja potensserierna ^i , . . . , ^,„ att erhålla alla de vär- 

 den som de öfverhufvudtaget kunna erhålla. Vilkoret inskränker blott de 

 mångtydiga funktionerna a;""? till vissa bestämda grenar af desamma. 



Af ofvan bevisade sats äfvensom af formen för if {x) i omgifningen af 

 punkten x -o följer, att äfven integralen 



œ 00 a+ica 



w (x) x' \Jx = --^. \ x' (Jx j^, — ^ p) fi X-" du 



« — t 00 



har ett bestämdt ändligt värde, ifall reela delen af ^ är större än de reela 

 delarne af «i , • • • , ö„, • Af intresse är nu äfven den omständigheten, att denna 

 detinita integral kan uttryckas genom gammafunktionen i enlighet med likheten 



roi\ ^ (g-ai )---r(s-a„.) _ f / n .-i , 



(61) nJ^)...r(z-ö„)-J,'f^^^'' ^'^- 



G-enom denna likhet, hvilken kan betraktas såsom en generalisering af likheten 

 r (z)=f e""" x^''^ dx, återföres en hel mängd definita integraler till gamma- 

 funktionen. Likheten (61) är emellertid ännu ganska speciel i jemförelse med 

 de ännu allmännare formler, som tinnas framstälda i Kap. IV af författarens 

 arbete öfver de lineära differensekvationerna af l:sta ordn. i 15 Bd. af Acta 

 Math. 



15. Jag uppställer här några exempel till föregående §§. 

 A. Det enklaste exempel på en integral af formen (38) erhålles om man 

 sätter 



