Om (lefinita integraler. 35 



a + icc 



"^ ^""^ =^if ^^'^ ^^' + ^--'^ '■''~^'^' , (O < a < 6) . 



a— I 00 



Enligt formlerna III i § 5 är 



ifall I X i < 1 ; samt 



CO 00 



»=0 ' — Vz=o 



ifall a; ) > 1 . Ur den förra likheten fås 



xp{x) = r{i^h){i^-x)-"-' 

 och lu- den senare 



1 N-»-i 



t/.(x) = r(i + i).c--'-^(i + i 



hvilka uttryck i sjelfva verket öfverensstämma. 

 B. Låt oss för det andra sätta 



a + •' 00 

 a— i CO 



och låt oss antaga att reela delen af ;' - 1 är mindre än de reela delarne af 

 «-1 och (3-1, som antagas vara positiva. Om då a är ett positivt reelt tal, 

 som är större än den reela delen af y- i men mindre än de reela delarne af 

 u - 1 och |3 - ] , så satisflerar ip enligt § 9 differentialekvationen 



ellei' utveckladt ekvationen 



(l-:r)xy' + (y-(a + |ï+i)x)2-«iï</;=o. 



Detta är den bekanta GAUss-KuMMERska hkheten. Låt oss vidare antaga, 

 att y icke är ett helt tal samt att skilnaden emellan c. och (3 icke heller är 

 ett helt tal. Emedan integranden då icke har oändhghetsställen af högre än 

 första ordningen, så kunna formlerna III i § 5 användas. Sätter man uti 

 desamma: ?» = 2, «j =o ,«._;=:;'- i , ij = «- i , ^2 = (3- i , så erhållas, om man 

 tillika gör bruk af gammafunktionens funktionallikhet, följande formler: 



