Om (h'finiiu iiiteijralej: 37 



1,=0 



Enligt § 13 har denna funktion den anmärkningsvärda egenskapen, att 

 produkten ic*'y(a-), huru stort än k må väljas, aftager mot noll, ifall x till 

 sitt absoluta belopp oliegränsadt växer utan att argumentet för x derunder vare 

 sig blir lika med eller obegränsadt närmar sig +sr. 



Funktionen <f står i ett nära samband med de s. k. BESSELska funktio- 

 nerna. 



16. Jag afslutar denna af handling med följande betraktelser. 



De i det föregående undersökta detinita integralerna (38) och (56) äro 

 långt ifrån ännu de enda och allmännaste, som kunna i fråga komma och af 

 hvilka man inom teorin för de hypergeometriska funktionerna kan draga fördel. 

 Man kan på två sätt ernå, att integralerna komma att omfatta en större mängd 

 hypergeometriska funktioner. À ena sidan kan man multipUcera integranderna 

 F(z)x-'' och G(z)x-^ med ganska allmänna trigonometriska uttryck, utan att 

 integralerna förlora sin betydelse eller sina egenskaper, förutsatt att de till- 

 satta faktorerna uppfylla vissa vilkor. Å andra sidan behöfver integrations- 

 vägen icke alltid vara så speciel som i det föregående, hvarest den utgjorts af 

 en obegränsad mot reela axeln vinkelrät linie. I och för framställningen af 

 vissa hypergeometriska funktioner blir det nödvändigt att låta integrationsvägen 

 utgöras af en km-va. 



Man filmer emellertid af det föregående, att den högst intressanta egen- 

 domligheten inträftar, att gammafunktionen, hvilken såsom bekant sjelf icke 

 förmår satisfiera någon ulgehraisk differentialekvation, dock på ett förträffligt 

 sätt egnar sig för en framställning under formen af slutna integraluttryck af 

 funktioner, som satisfiera så enkla differentialekvationer som de hypergeometri- 

 ska, h\ilka i sjelfva verket kunna anses vara de enklaste af alla differential- 

 ekvationer. Hvad särskildt beträffar integraluttrycket för funktionen </' {x)'- 



^ 



(./) = , A-. r r(z-cu) - ■ ■ r(r-a,„) r(i+ b,-i) .■■r(i + h,-z) x-uiz, 



så måste vi anse detsamma vara ett \ida fullständigare uttryck för funktionen 

 än framställningen under serieform. Ty ur integraluttrycket erhålles lätt serie- 

 utveckUngen, hvarutom vissa egenskaper, som icke framgå ur serieutvecklingen. 



