38 Hj. Mellin. 



på ett, såsom vi sett, enkelt sätt framlysa ur integraluttrycket. Särskildt ha 

 vi funnit, att framställningen under serieform blifver högst ofullständig då 

 m — n, i det att man i omgifningen af punkten x = o har en samt i omgifnin- 

 gen af a:: = œ en annan begränsadt konvergerande serieutveckling. Der emot 

 framställer integraluttrycket öfver hela u-planet en eller flera entydiga grenar 

 af V (x) . 



För de hypergeometriska funktionerna ha icke saknats uttryck under for- 

 men af definita integraler. Mest bekant i detta afseende är framställningen 

 af GrAuss' hypergeometriska serie under formen 



F{«,ß, Y, x) = rj0lflß)jvß-' (1-z;) y-ß-' {x-vxY- dv . 



o 



Men det hör märkas, att de i fråga varande integralerna hlifva dubbla eller 

 flerdubbla så snart de framstälda funktionernas ordningstal öfverstiger talet två. 

 Genom att uti integranden använda gammafunktionen ernås den högst väsendt- 

 liga förenklingen, att integralerna förbMfva enkla, hvilket än de framstälda 

 funktionernas ordningstal må vara. 



Gammafunktionens betydelse inom analysen har härintills förnämligast 

 grundat sig derpå, att en hel mängd deflnita integraler låtit återföra sig till 

 denna funktion. Så vigtig denna omständighet än är, så torde den dock icke 

 vara af en större utan snarare af en underordnad betydelse i jämförelse med 

 den härintills så godt som alls icke beaktade egenskapen hos samma funktion 

 att lämpa sig för en framställning af hypergeometriska funktioner under formen 

 af slutna integraluttryck, livarur funktionernas egenskaper på ett i allmänhet 

 enkelt sätt framlysa. 



Men gammafunktionens betydelse sträcker sig ännu vida längre. Genom 

 att fortgå på den uti denna afhandUng inslagna vägen skall man finna, att 

 det, som blifvit sagdt om gammafunktionens förhållande till de hypergeometri- 

 ska funktionerna af en oberoende variabel, äfven gäller om gammafunktionens 

 förhållande till hypergeometriska funktionen af flera oberoende variabler och af 

 godtyckhga ordningar. Äfven inom teorin för dessa vida allmännare funktio- 

 ner är gammafunktionens användbarhet tvåfaldig. A ena sidan kan en hel 

 mängd dubbla och mångdubbla definita integraler öfver sådana funktioner åter- 

 föras till gammafunktionen; och å andra sidan lämpar sig gammafunktionen 

 för en framställning af nämda funktioner under formen af en dubbel eller 

 mångdubbel définit integral, hvarvid antalet integraltecken blifver lika med de 



