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4. En passant des accroissements infiniment petits de k, |3, y à leurs 

 dérivées par rapport au temps, les formules précédentes nous fournissent immé- 

 diatement l'expression de la force vive T; on trouve 



D'autre part, lorsque le corps se déplace en sorte que a, ß, y subissent les 

 accroissements d«, dp, dy, la pesanteur eifectue un travail dont l'expression est 



ÔU = — Mgr cos (« -\- a) âa . 



En considérant r et oj comme des fonctions de a, ce qui est évidemment légi- 

 time, et en posant 



rcos (w + «)(?« = F(a) , 



on aura donc 



U=-MgF(a), 



et il ne reste, pour établir les équations du mouvement, qu'à écrire que la 

 variation de l'intégrale (i) est nulle pour des variations quelconques de «, ß, y 

 s'annulant aux limites to et ti. En exprimant cette condition, les équations 

 cherchées se présentent sous la forme donnée par Lagrange: 



d dT _d(T+U) ddT_d(T+U) cl d T _ dJT+ü) 



(3) 



dtjda\~ da dt-,fdß\ dß dt.fdA dy 



^[-dt) %lt} '^U) 



Or, les variables ß et y ne figurent pas dans l'expression T+ U. Les deux 

 dernières des équations précédentes nous fournissent donc immédiatement les 

 intégrales premières: 



ou, en développant, 



(4) a{-J^ -\- sin « ;^)+ Mr"^ sin o) (sin oa Jj — cos (to + «) , j = isTi , 



(5) A sin tti-.j + sina-^j + Bcos'^a-^— J/r^ cos (w + a) ( sin « -^ — cos (w + «) ^- j = K^ , 



Kl et K2 désignant des constantes arbitraires. — La première des équations (3), 

 si l'on voulait la développer, serait assez compliquée. Heureusement, nous n'avons 

 pas besoin de nous servir de cette équation ; nous connaissons, en effet, d'avance 



