8 E. LiNDELÖF. 



(12) Ky + K^=0. 



Donc, si nous supposons que les valeurs initiales de a, /3, y et de leurs déri- 

 vées ne satisfassent à aucune des relations (u) et (12), il y aui'a certainement 

 deux valeui's de « , «i et «2 j situées respectivement entre ~ f et «0 > et entre 

 «0 et +f , et telles que l'expression U'{a) soit positive et différente de zéro 

 dans tout l'intervalle «1 — «2 » ^^''^is qu'elle s'annule pour a — f?, et pour « = «2 • 

 Par suite, l'angle a oscillera constamment entre les limites t^ et «o , et ce mou- 

 A'ement oscillatoire sera périodique et admettra la période 



da 



-r 



l/'/^(a) 



Comme r et ra ne dépendent qiie de «, elles seront donc aussi des fonctions 

 périodiques du temps, admettant la période t, et en remontant aux formules 



(7) et (8) , on voit qu'il en sera de même de -3^ et de |^ ^). 



Considérons, sur le corps de révolution, la courbe S lieu des points de 

 contact successifs du corps avec le plan horizontal. Nous faisons remarquer 

 qu'à un système quelconque de valeurs « , |3 correspond un point bien déterminé 

 de la surface de notre corps, et que les courbes a = constante et /3 = constante 

 sont respectivement les parallèles et les méridiens de cette surface. Or, en 

 adoptant ces coordonnées, on pourra écrire immédiatement l'équation différen- 

 tielle de la coui'be 8; elle sera, en effet, 



^ 1/ !^(«) 



</>(«) désignant le second membre de l'équation (7). Cette équation nous mon- 

 tre que a est encore une fonction périodique de (3, la période étant 



"«2 fZ» (a) da 





l/y^(«) 



La courbe S est donc périodique et comprise tout entière entre les deux pa- 

 rallèles ß = «1 et ß = «2 . 



') Ceci n'est évidemment exact que sous la condition que les valeurs ai et a^ soient, pour 

 ^''(a), des zéros simples. Pour des systèmes particuliers de valeurs initiales, W(a) pourra, sans 

 doute, admettre un zéro double, du moins pour certaines formes du corps de révolution (nous ne 

 comptons pas les cas évidents où le mouvement se réduit à une simple rotation autour d'un axe 

 vertical). Le mouvement présentera alors un caractère tout autre que dans le cas où a^ et «j 

 sont des zéros simples. Cependant, comme l'étude de cette question conduit à des calculs assez 

 pénibles, nous nous bornerons, pour le cas général, à cette remarque sommaire, en renvoyant au 

 n» 14, où cette même question se trouve traitée, avec plus de détails, pour une forme particulière 

 de notre corps de révolution. 



