4 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



Certaines circonstances me faisaient soupçonner que cette équation 

 n'a qu'un nombre fini de solutions x et, en essayant de démontrer 

 cette proposition, j'ai trouvé quelques théorèmes sur l'équation de Pell 

 x^ — Dy'^ ^= -^ \ , qui peuvent, je crois, être d'un certain intérêt et qui 

 sont nouveaux, autant que je sache. 



Dans mes recherches, je me suis servi d'un principe très-simple qui 

 peut être appliqué avec succès à la solution de plusieurs équations 

 indéterminées d'un degré supérieur, où les coefficients contiennent comme 

 diviseurs les coefficients du binôme. Par ce principe, j'ai réussi, par ex., 

 à résoudre complètement en nombres entiers w, n^ x^ y, k l'équation 



m arc tg \- n arc tg — = ^ — 



X y 4 



dont la discussion conduit aux équations de l'espèce ci-dessus. ^ 



Ce principe a pour point de départ une formule bien connue pour 

 l'exposant y. de la plus grande puissance du nombre premier p qui divise 

 le produit i . 2 . 3 . . . A^. En effet, E(x) désignant le plus grand entier 

 contenu dans x, on aura, comme on le sait 2; 



1 Voir mon mémoire: Solution complete en nombres entiers m, n, x, y, k de t équation 



marc tg — -^ n arc tg— =zk—, Christiania Videnskabsselskabs Skrifter /SoÇ. 

 ^ / 4 



Il y a lieu de mentionner ici une lacune, d'ailleurs sans conséquence, que j'ai con- 

 statée dans ce mémoire dans la démonstration du théorème sur l'équation \ ■\- x^z=. zz". 

 En effet, de la page 9, ligne 29, jusqu'à la p. 10, le calcul doit être remplacé par ce 

 qui suit: 



... où les signes au' premier membre sont à choisir simultanément -f ou — . 11 faut 

 donc, que S= i. En remarquant, que 



A±A'i = {i±i){ai±fi{) 

 il vient 



(I ± i) [2(ai ± ß^) -f- i] = s^{i + i) 



d'où, en divisant par i ^ /: 



2(«i ±ßi) + i=t^ 



où «2 est une unité, qui se réduit à ± i, parceque le premier membre est réel. 

 On aura ainsi 



2«i ± 2/?j = o ou 2ai ± 2/?j = — 2 



qui, substitués dans (12), donnent 



ç + {q -{■ i)i = f [qp 2/?! + I + 2iß^f OU O + {ç + l)i=e[^2ß^—l + 2ißif 



qui ont tous les deux la même forme: 



e + {o + ï)i = ei[l + 2;-(l ± ;•)]" 

 OÙ ej est une unité et où r = J- ^j etc. 



2 Voir Lkgendre: Théorie des nombres. Introduction, XVI et XVII. 



