1897. Xo. 2. QIIEI.QL KS THÉORÈMES SUR I.'KOUATION DK PKLL. ; 



Théorème 1. 



Supposons que F équation x- — Dy- = — i admette des solutions 

 entières positives x et y, D étant un nombre entier positif, et soit j', la 

 plus petite solution y. 



Alors deux cas peuvent se présenter: 

 i) ou bien il n'y aura aucune solution y telle que tout nombre 



premier diviseur de y le soit aussi de D. 

 2) ou bien il y en aura une seule et ce sera j',. 



Pour démontrer ce théorème, rappelons nous d'abord quelques pro- 

 priétés des di^'iseurs premiers d'une solution entière y de l'équation (3). 

 Celle-ci peut s'écrire : 



I -f- ;tr2 = Dy\ 



Supposons que x q\. y sont des nombres entiers positifs. Alors 

 tout diviseur premier p de Dy- divisera i -|- x-, somme de deux carrés 

 premiers entre eux, et comme on le sait ^ il faut alors que p ^= 2 on 

 égal à un nombre premier de la forme 4/^ -f i, h étant entier et positif. 

 Or. si I 4- -'^^ est divisible par 2, x sera impair et = 2x\ -\- i, d'où 



I + ^- = 2 -i- 4-Vi 4 Axi- 



qui est divisible par 2 mais non par 4. Par conséquent y sera impair et 

 ne peut pas contenir d'autres diviseurs premiers que ceux de la forme 



4/^-h I- 



Tout nombre premier divisant y sera donc > 5. 



Soit maintenant y' une solution entière positive y de l'équation (3) 



telle que tout nombre premier divisant y' , divise aussi D. Pour le trouver, 



appliquons la théorie bien connue de cette équation-. On sait en effet, 



que si l'équation 



x'^-Dy^^- I (3) 



admet des solutions en nombres entiers x, y elle en admettra une infinité 

 et que toutes les solutions entières positives ;r,,, ^ j, j',.,. ^ ^ peuvent être trouvées 

 en identifiant les parties rationnelles et irrationnelles aux deux membres de 

 l'équation 



1 Voir p. ex LegeN'DKE Théorie des Nombres I, sec. 144. 



2 ibid. S 6 sec. 34. 



