8 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



OÙ 2v -\- I prend les valeurs impaires i, 3, 5, /,.... et où x^ et j', sont 

 les plus petites solutions entières positives, solutions qui sont appelées 

 solutions fondatnentales. 



y' étant une solution y de l'équation (3) il faut donc que l'on ait pour 

 une valeur convenable de 2v -\- \ 



y^v^\=y'. 



En substituant pour y ^ sa valeur tirée de l'équation ci-dessus il 

 vient 



où l'on a posé 



Tj :2yH- \)2v{2v— \) . . .{iv — 2k + l) 2r-2k 2k ^A- 

 1 .2.3. . .(2/P +1) ' '' 



(^= I, 2, 3....V). 

 Il faut donc que y' soit divisible par r, . Posons 



y'=yx'y" 



Si 2î' -}- I = I, on aura_)''=j, et le théorème se trouvera démontré. 



Supposons 2v -|- / > I. 



Alors y' sera >/, et y" > i et la plus petite valeur de 2y -f t étant 

 3, on aura toujours 



^i>o. 



En substituant pour y' sa valeur ci-dessus, il vient 



{2v^ iy.'"+ C/, 4-^2+...+ ^*+... =/'. (4) 



Mettons en évidence un diviseur premier / de y" et posons 



y" =p'^y'" 



y'" n'étant pas divisible par p. On sait que /> 5, parcequ'il est divi- 

 seur de y' , qui est une solution de l'équation (3). 



En se rappelant la définition de /, on peut poser D=pD^, 

 Z>, étant entier. Alors, dans l'équation (4) tout terme t/sera divisible par p 

 et aussi y, et par conséquent (2y -|- \)x^'*' . Mais x^ n'étant pas divisible 



