l897- ^O. 2. QUELQUES THÉORÈMES SUR LKQUATION DE PEI.L. 9 



par/, parceque x^- = Dv^'- — i, il faut que 2v -\- i soit divisible par ce 

 nombre. Posons 



2v -^ \ = p û 



a n'étant pas divisible par p. et considérons le terme général it. On a 



,. (2V -\- 1^ 2V {2v — l')...{2v — 2k ~\- l 1, -n îk k 



^ * = I.2.3...(2.^-hl- — ^' • -''• • ^ 



En posant pour 2v -\- i et D leurs valeurs trouvées plus haut, L\ 

 peut s'écrire : 



" ^ • I.2.3.. ..(2/C'+ l) 



ï^ étant un nombre entier positif. 



Or, k étant > i et / > 5, la formule 2 du paragraphe i montre que la 

 plus grande puissance de / qui divise le dénominateur i .2 .-^. . . 2k -\- i) 

 sera égale ou inférieure à /*~^. En réduisant, le diviseur premier /» dis- 

 paraîtra ainsi dans le dénominateur, parceque /*~* est facteur du numé- 

 rateur. D'un autre côté, tous les autres diviseurs de i .2.3. . . .(2-1" -I- t' 

 diviseront a.2v. . . .{2y — 2k -}- i) parceque 



(2V -h r 2v{2l' — l). . . . 2V — 2k -\- l) 

 1.2.3. .. .(2^ -f 



est un nombre entier. 



Par conséquent la fraction dans l'expression de f * doit se réduire à 

 un nombre entier et Ton peut écrire 



Uk = p"-'\M 



Mi étant un nombre entier positif, et X' ^ i, 2, ;. . . . »-. 



En substituant ces valeurs de /", 2v -j- i et fi, 62,. . . f *. . . et en 

 remarquant que Ui > o, l'équation (4) peut s'écrire: 



P ax^- -\-p .M =^p .y 



où M est un nombre entier positif. 



Or, si m > n, y'" ou ax^ ^'' serait divisible par /, ce qui est contraire 

 à l'hypothèse. Il faut donc que m = n, c'est à dire que : 



La plus grande puissance du nombre premier /, qui divise y", divi- 

 sera aussi 2v -^ I et la somme des termes U. 



