lO CARL STØRMER. M.-N. KI. 



En appliquant ce résultat à tous les diviseurs premiers de y'\ on 

 voit que 2v + i sera divisible par y" et la somme des termes U le sera 

 aussi, c'est-à-dire que l'équation (4} prend la forme 



y" .cx^^-^ +y" .N = y" 



où c çX. N sont des nombres entiers positifs, d'où 



ce qui est impossible. 



La supposition 2î' + i >■ i conduit ainsi à une contradiction et sera à 

 rejeter. Par conséquent 2v -\- \ = i et jj/'==jj/,, c'est-à-dire que: 



Sil ex iste une solution y' jouissant de la propriété demandée, ce ne 

 pourra donc être que _y, , c. q. f. d. 



Nous allous faire voir, que le théorème analogue subsiste encore pour 

 l'équation de Pell 



^'-^/'=i- (5) 



En effet, on a: 



Théorème 2. 



Si D est un nombre entier positif non carré, V équation de Pell 

 x'^ — Dy- = / admet, comme on le sait, toujours des solutions entières 

 positives x et y. Soit j/, la plus petite des solutions y. 

 Alors deux cas peuvent se présenter: 

 i) ou bien il n'y aura aucune solution y telle que tout nombre premier 



diviseur de y le soit aussi de D; 

 2) ou bien il y en aura une seule et ce cera y^. 



La démonstration de ce théorème est analogue à celle du théorème 

 précédent, mais il se présente ici, comme nous allons le voir, une certaine 

 difficulté à propos du diviseur premier 3. 



Rappelons nous d'abord quelques propositions fondamentales et bien 

 connues 1 sur l'équation de Pell x^ — Dy^=i. En effet, si D est un 



' Voir p. ex. Legexdre: Théorie des nombres I, S 6. 



