iSgj. \o. J. (^HEI.QUES THÉORÈMES SV^ L'ÉQUATION DE PELL. II 



nombre entier positif non carré, cette équation admet, comme on le sait, 

 toujours une infinité de solutions entières positives x^ , j'^ qui peuvent 

 toutes être trouvées en identifiant les parties rationnelles et irrationnelles 

 aux deux membres de l'équation 



^- + /« \^D = (^, + r, Vd^" 



où n prend toutes les valeurs entières positives i, 2, 3, ... et ou x\ et j', 

 sont les plus petites solutions entières positives, solutions qui sont appelées 

 solutions fondamentales. 



n y a lieu de remarquer que x^ est > i, parceque x^ = i donnerait 



Si n est pair et égal à 2 v on trouve pour j,,.: 



1 . - . j> 



+ 2v;r,/,-'-i.Z>*-i 



qui est comme on le voit divisible par x^ . 



Soit maintenant j'' une solution j\ dont tout diviseur premier divise D. 

 D faut donc que l'on ait, pour une valeur convenable de n 



Or, n ne peut pas être pair. En eftet, )\ et par conséquent y serait 

 alors divisible par .r,, et x, étant > i il contiendrait un diviseur premier 

 > I appartenant à /' et en même temps à D, conformément à l'hypo- 

 thèse; mais cela est impossible, puisque x^ — Dy^ =^ i. 



Par conséquent n sera impair, égal à 2j -|- i- et on re\'ient à la même 

 équation que dans la démonstration du théorème précédent, savoir 



j/,[(2v-f I ^r' + i\ 4- r2-h...+ ft+ ...; =/ 



ou 



.- (2V-}- I'2l- (2v-T)...(2v-2/{--h l) ^2r-2t,, 2t ^t 

 1.2,3. ■ •(2>^-|- ' . -'• 



(iè=i,2, 3 v\ 



Mais il y a ici cette différence que D et par conséquent aussi y' 

 peuvent contenir n'importe quel di^'iseur premier. 



