iSgj. Xo. 3. QUELQUES THEOREMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 13 



OÙ P n'est pas dmsible par 3 et par conséquent ne contient que des 

 diviseurs premiers > 5. Tout terme 6' au premier membre de (6} étant 

 divisible par Z^j'i'-, c'est-à-dire par 3, il faut que 2v -r i)x^-'' le soit aussi 

 et x^- = D]\^ -\- I nétant pas divisible par 3, il faut que 2v -\- i soit di- 

 visible par ce nombre. Posons : 



2,. -H i=j\a 



a n'étant pas divisible par 3. 



Considérons le terme général Ut: 



1.2.3 v2>^H- l) ^ -'l ^ 



En posant ici 2v-|- i = 3".^ et en remarquant que Dvi^ est divisible 

 par 3-, ce terme peut s'écrire : 



, _ ,«.t a.2v{2v—i) i2v-2k-t i\3* r. 



^'-^' 1.2. 3. ...(2/^+1) 



où Vi est un nombre entier positif. 



Or, d'après la formule (i; du paragraphe i. la plus grande 

 puissance de 3 qui divise 1.2.3 ••• \2^ + i) sera égalé ou inférieure à 

 3* et on reconnaît comme précédemment que la fraction ci-dessus doit se 

 réduire à un nombre entier, d'où 



rv = 3'"*.^t 



où Mt est un nombre entier positif. (>è = i, 2, 3.. . . .v). 



En substituant cettes valeurs dans (6) et en remarquant que i\ > o. 

 l'équation devient 



3« . ax^ -*■ + 3« + 1 . M =-/.P 



M étant entier et positif, ce qui exige que a ^= ß, c'est à dire, çue: 



La plus grande puissance de j qui divise y" divisera aussi 21' -{- i et 



la somme des termes U. 



D'un autre côté, tout autre diviseur premier de y" est > 5 et obéit 



à la même règle, comme nous l'avons démontré précédemment. Par 



conséquent, l'équation (6) peut s'écrire 



y".cx^-'^y" .N = y" 

 d'où 



cx^~*- + y= T 



c et -V étant des nombres entiers positifs, ce qui est impossible. 



