14 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



On aura donc 



3) Prenons enfin le dernier cas. 



Alors 3 divisera D mais non y^. 



Supposons d'abord que y" n'est pas divisible par 3 ; alors tout divi- 

 seur premier de j'" sera > 5 es l'on trouvera comme auparavant j/' = jj^, . 

 Supposons fnaintenant y" divisible par 9. On peut poser 



y = ^z' 



et z' sera une des solutions entières positives z de l'équation 



x^ - D'z^ = I 



o\\ D' = ç)D. Mais tout diviseur premier de z' divisera D', et en appe- 

 lant z^ la plus petite solution z, D'z^^ = (^Dz^^^ sera divisible par 9 et 

 l'on retombe ainsi sur le second cas. 

 Il faut donc que 



z' = z^. 



Or, on peut aisément exprimer Zy à l'aide des solutions fondamen- 

 tales Xy et 7, de l'équation x^ — Dy"^ =^ i. En effet, 3s: étant une solution 

 y^y^^ de cette équation, 35^, sera évidemment la première des solutions 

 J'ar + i ^'-li ss''^ divisible par 3. Nous avons maintenant, en posant 



K étant entier. 



Mais ,t,2 = 3iC>,j',2 -\- I n'est pas divisible par 3 et il en est de même 

 de 7,. Par conséquent, la plus petite valeur de 2v -\- i rendant jj/,,,^^ 

 divisible par 3 sera 



2»/ -)- I = 3 

 ce qui donne 



d'OLl 



/'=| = 3(^.''* + AA^) 



Or, nous avons vu que tout diviseur premier / > 5 cjui divise y" 

 divisera 2j/ -(- i. Mais 2v -\- \ étant = 3, y" qui est impair ne peut donc 

 pas contenir d'autres diviseurs (Premiers que 3 et il faut que 



