1 6 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



Nous allons poser le problème d'une façon encore plus générale et 

 chercher la solution complete en nombres entiers positifs x, u^^, u.^, ... a„ 

 de l'équation: 



I + ;i'2 = /v.«j"i.«2"2. . .ö:/" 



Oll K, rt, , a,^, ... an sont des nombres entiers donnés. 

 Je vais démontrer le théorème suivant: 



Théorème 3. 



A supposer que f équation 



soit possible en nombres entiers positif s ,r, «,,02,... a«, les nombres entiers 

 positifs K, <7p a^, ... a^ étant dominés et tous > /, elle n'aura qu'un 

 nombre fini de solutions x, qui se trouvent toutes parmi les solutions 

 fondamentales x des équations: 



x^ - Diy^- = - I 



x"- - Dr f = - I 



oil D\, D2, . . . Dv sont toutes les valeurs du produit: 



D = Ka^'^'^.a^^'^ a/« 



les e étant supposés de toutes les manières possibles = i et =■ 2. 

 Le nombre de solutions x ne peut pas dépasser 2". 



Pour démontrer ce théorème, considérons le produit 



où les exposants «,, a^, ... «„ peuvent avoir toutes les valeurs entières 

 et positives possibles. Posons, pour tout exposant «» 



où «,• est =1, si ai est impair, et ^= 2, si 0, est pair. Qi sera alors un 

 nombre entier ou ^ o. Le produit P peut maintenant s'écrire 



