l897- No. 2. QUELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 17 



en posant 



Kay^i.a^^'i an''' = D 



ß,?l.Ä2?2 0/« = ^ 



où, nous le répétons, e^, e^, ... £n sont =1 et = 2 et ^,, ç^, - . . o« des 

 nombres entiers positifs ou = o. 



Si l'on donne maintenant à a,, «g» ••• «n toutes les valeurs entières 

 positives, on obtient une infinité de produits P et aussi une infinité de 

 nombres A, mais, les nombres K, a^, a^, . . . a^ étant donnés, on n'aura 

 qu'un nombre fini de valeurs de D correspondant à toutes les manières 

 différentes dont on peut choisir £,, £jj, ... £„ égaux à i ou 2. Soient 

 ces valeurs 



A, A, ... A, ... . Dv. 



Tous les produits P sont ainsi distribués en v classes, contenant 

 chacune une infinité de produits P, pour lesquels D aura la même 

 valeur A. 



Considérons tous les produits P appartenant à la même classe corres- 

 pondant à la valeur A. Nous allons démontrer qu'il y en aura un au 

 plus satisfaisant à V équation 



i -\-x^ = P, 



où X est un nombre entier positif. En effet, en substituant pour P sa 

 valeur DkA^, l'équation peut s'écrire: 



x^-Dj,A^ = - I. 



Or, toute valeur de ^ a par définition la propriété que tout nombre 

 premier qui divise A, divisera aussi A- Donc, en verUi du théorème i, 

 ou bien l'équation sera impossible ou bien il n'existera qu'une seule solu- 

 tion A qui sera égale à la plus petite des solutions entières et positives 

 y de l'équation 



x^ — Aj^^ = — I 



c'est-à-dire égale à la solution fondamentale y^ et la valeur correspondante 

 X sera la solution fondamentale x^. 



A toute valeur A correspond ainsi au plus une solution x, et par 

 conséquent les solutions entières positives de l'équation 



Vid.-Selsk. Skrifter. M.-N. Kl. 1897. No. 2. 2 



