CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



se trouvent toutes parmi les solutions fondamentales x des équations 



x^ — Diy^ = — I 

 x^ - D^y"^ = - I 



x^ - Dry^ = - I 



et les solutions correspondantes a,, «a» • • • «n sont données par les valeurs 

 correspondantes des y. 



Il reste à trouver une limite supérieure du nombre de solutions x et 

 d'après ce qui précède cette limite sera le nombre de manières différentes 

 dont on peut choisir les £p £2» • • • «m égaux à i et à 2. 



Pour trouver ce nombre, supposons que m des exposants b sont = 2 

 et les autres = i. Comme on le sait, dans la série £,, £3» • • • • ^m on peut 

 choisir les m exposants e de 



n.{fi—\^...{n — m-{-\) 

 \ .2.},. . . .m 



manières différentes. En faisant successivement m==o, i, 2,...n on aura 

 ainsi le nombre total 



. « , , n.(n— i). . .(n — m -\- i) , 



I H h ... H ^ ^ ^^— ^ +... + 1 = 2»» 



I 1.2.3. . .;« 



ce qui sera la limite supérieure cherchée. 



Le théorème se trouve ainsi complètement démontré. 



A l'aide du théorème démontré ci-dessus, l'équation 



I + :r2 = Ka^"^ . a^""^ . . . a^'^» 



se trouve complètement résolue en nombres entiers positifs x, a,, ag, . . . of„, 

 quand les K, a,, a^, . . . «„ sont des nombres entiers donnés ou, ce qui 

 revient au même, on peut trouver toutes les valeurs entières positives des 

 exposants «j, ag, . . . a„ pour lesquels le produit 



K.ay^.a^"^ æ/" 



sera de la forme i -\- x^, x étant entier. 



