iSgj. Xo. 2. QUELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 19 



En effet, le problème est ramené à trouver les solutions fondamentales 

 des équations de la forme x- — Dy- = — i, où D n'a qu'un nombre fini 

 de valeurs données et comme on le sait^. on peut toujours décider si une 

 telle équation est possible en nombres entiers x, y et dans le cas affir- 

 matif, trouver ses solutions fondamentales. 



Dya un cas particulièrement intéressant du théorème 3, celui où les 

 nombres a^, a^, . . . a^ sont des nombres premiers. 



Xous allons appliquer ce cas spécial pour résoudre complètement les 

 problèmes suivants ^ : 



i) trouver tous les nombres entiers de la forme i -\- x^ qui sont divi- 

 sibles par les nombres premiers p^, p^, .. . /„, mais non par d'aiäres 

 nombres premiers. 



2) trouver tous les nombres entiers de la forme i -f- x-, dont tous les 

 diviseurs premiers se trouvent parmi les nombres premiers p^, p^, ... p^. 



3} trouver tous les nombres entiers de la forme i -\- x-, dont le plus 

 grand diviseur premier est /„ . 



Pour chacun des ces problèmes on ne trouvera qu'un nombre fini de 

 solutions, comme les tables de diviseurs des nombres i 4 .r^ de GAUSS le 

 faisaient d'ailleurs soupçonner. En effet, dans les Œuvres complètes de Gauss ^, 

 T. II, p. 477 (en allemand) on trouve une table de décompositions des 

 nombres de la forme i -j- x- en leurs diviseurs premiers pour tous les 

 diviseurs premiers égaux ou inférieurs à 197 et en consultant cette table 

 on est conduit à croire, que les problèmes ci-dessus n'ont qu'un 

 nombre fini de solutions. Gauss semble avoir remarqué cette circonstance, 

 car il a ajouté une liste des nombres i -h x- contenues dans sa table, dont 

 le plus grand diviseur premier est respectivement ;, 13. 17, ... 197; mais 

 rien ne prouve qu'il ait démontré que leur nombre fût fini, et peut-être 

 son résultat était-il empirique; en effet, la table en question a été trouvée 

 parmi ses manuscrits posthumes et la note de M. SCHERING relative à cette 

 table (1. c. p. 523) ne signale nullement l'existence d'une pareille loi. 



1 Voir p. ex. Legexdre : Théorie des nombres L S 5 et 6. 



■2 Dans ce qui suit, les nombres premiers /j, /g. . . . pn peuvent être supposés = 2 ou de 



la forme 4^-1-1 comme nous l'avons dit dans le paragraphe 2 (p. 7). 

 8 Gauss. Weeke, U, Göttingen 1876. 



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