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CARL STØRMER. M.-N. Kl- 



Nous 'allons résoudre complètement les problèmes ci-dessus en leur 

 appliquant le théorème 3. 



Considérons d'abord le premier problème. 



Ce problème revient, comme on le voit, à résoudre complètement en 

 nombres entiers positifs x, a,, ag, . . . a« l'équation 



où p^, p^, . . . pn sont des nombres premiers donnés, qui peuvent être 

 supposés différents entre eux. 



Alors le théorème 3 donne immédiatement la solution complète en y 

 posant 



Æ=I, «1 =/>p âtg =^3, an=pn 



et l'on trouve 



au il n'y a quun nombre fini de nombres de la forme i -\- x^ qui 

 sont divisibles par les nombres premiers py^, p^, . . . pn, sans l'être par 

 d'autres nombres premiers et que les valeurs correspondantes de x se trou- 

 vent toutes parmi les solutions fondamentales x des équations 



x^ - Diy^ = - I 



X'^ - Z>3 J/2 _ _ I 



x^-Dvy^ = - r 



ok A, A, ...Dr sont toutes les valeurs du produit /i^i./g^^- • •//^ 

 quand les e sont faits de toutes les manières possibles = i ou =^ 2 à 

 Vexceptio7i de la valeur p^^ p<^ . . .pn- 



Le nombre de solutions ne peut pas dépasser 2" — i . 



En effet, la valeur D = p^^ .p^ . . .p^ étant un carré parfait, l'équation 

 x'^ — Dy^ = — I devient impossible dans ce cas, et la limite supérieure 

 2*» dans le théorème 3 peut ainsi être remplacée par 2**— i. 



Il faut remarquer qu'il peut bien arriver que d'autres valeurs A 

 soient à rejeter, savoir celles pour les quelles l'équation correspondante 

 x^ — Djiy^ = — I devient impossible, ou celles pour les quelles la solution 

 fondamentale y correspondante contient des diviseurs premiers autres que 



Mais cela peut toujours être décidé pour chaque valeur particulière 

 A, comme nous l'avons dit auparavant (p. 19). 



