22 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



qu'il n'y aura qu'un nombre fini de solutions jt, qui se trouvent 

 toutes parmi les solutions fondamentales x des équations 



x^ — Dxy^ = - I 

 ;tr2 - Z?5,j>/2 = - I 



ou D\, D^, . . . Dft sont toutes les valeurs non carrées du produit 

 P'i'^ . /a*2 . . //", quand les e sont faits de toutes les manières possibles 

 = o, = I et = 2. 



Nous allons trouver une limite supérieure du nombre de solutions 

 que comporte ce problème. On aura évidemment que ^.i sera une telle 

 limite. 



Pour trouver ^.i, choisissons dans le produit 



D = p^'Kp^'K..Pn'^ 



m des exposants e égaux à zéro, \ç.^ n — m autres e étant égaux à i ou à 2. 

 On peut choisir les m exposants g = o de 



n.{n—\)..,{n — m-\-\) 

 1.2.3.../« 



manières différentes; considérons un quelconque des produits D corres- 

 pondants à un système donné des m exposants e\ les n — m e restants 

 peuvent, d'après ce qui précède, être =1 et = 2 de 2'*'"' manières 

 différentes et parmi les D correspondants il faut rejeter celui, où tous les 

 £ sont = 2. 



Chaque système de m exposants £ = donne ainsi 2'»—''*— i valeurs 

 de D] par conséquent, il y aura en tout 



n.(n — m)...(n — m-\-\), 

 1 .2.3. . . .m 



valeurs de D, non carrées, m des s étant = o et les autres = i ou = 2. 

 En choisissant successivement m = o, i, 2, ... Jt, on aura ainsi 



n 

 |U = 2" — I -h - (2"-l — l) H- . . . + 



, n.{n — \) . . .{n — m ~\-i) , , , , n. -, , , „ ^ 



H ' ^ ^^-^(2«-»"— i) -h . . . -f -(2— i) + (20— I) 



1.2.3 ■ ■ ■ '^ I 



ou 



