24 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



OÙ 5, IT,,. . .pn-1 sont tous les nombres premiers de la forme 4/^+1, 



qui sont <1 pn et où (î^o ou = i, a„ un nombre entier positif et 



«lyU^,. . . .ùn-i des nombres entiers positifs ou = o. 



D'après ce qui précède, on voit que toutes les solutions entières et 



positives x du problème se trouvent parmi les solutions fondamentales x 



des équations: 



x^ — D^y^ = — I 



x^ — D^y^ •= — I 



x^ — D^y"^ = — I 

 oil D^, D^, . . D sont toutes les valeurs non carrées du produit 



quand ô = ou = i, d = i ou — 2 et 61,62 ... £n — \ étant faits de toutes 

 les manières possibles égaux à o, i ou 2. 



On trouve aisément que si pn est le ;2'«'"^ des nombres premiers de 

 la forme 4/1 -\- i, il ne peut y avoir plus de ^ . j" ^ ^ — 2" ~ ^ nombres 

 entiers de la form.e i -\- x'^, dont le plus grand diviseur premier soit p^. 



La solution des problèmes précédents nous conduit au théorème suivant : 



Théorème 4. 



Quelque grand que soit ■ le nombre positif P, on peut toujours assi- 

 gner un autre nombre Mp tel que tout nom,bre entier de la fortne i -\- x^, 

 qui est > Mp, contienne toujours un diviseur premier > P. 



En effet, soient 



5' 13' ï7' Ai-i. A 



tous les nombres premiers de la forme å,h -\- i, qui sont ^ P. 



D'après ce qui précède, on peut alors trouver toutes les valeurs 

 entières et positives de x, pour lesquelles tous les diviseurs impairs de 



