1897. ^^O. 2. QT ELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 29 



où K est entier et positif, ne peuvent pas être satisfaites simultanément 

 en nombres entiers positifs x, }',z^,z^, ... z„. u^, u., . . . //„„ to74s > i et 

 x^y. 



En efifet, le produit D aura pour les deux équations la même valeur 



D ^ K. ^jXTj, . . . ^„ . «1 * //g- . . . uj 

 De ce corollaire on tire la conclusion suivante: 



Corollaire 2. 



St K, 3^, z^, . . . z^, u^, u^, . . . //,„ sont des nombres entiers positifs donnés, 

 tous les 2 et u premiers entre eux et > i, et les a^, a^, . . . «„, i,, i^, . i„, 

 des exposants entiers positifs soumis uniquement a cette condition, que tous 

 les a soient impairs et tous les ß pairs, il existe au plus un seul système 

 des exposants a et ß pour lequel le produit 



P= K.z^''^. z.2'^2 . . . r^«» . u/i . u/i . . . uj^ 



aura la forme i -\- x-, x étant entier, et ce système sera donné, s'il 

 existe, par la décompositioyi en f acteurs du nombre i H- -r,-, ou x^, est la 

 solution fondavientale x de l'équation: 



.r2 — {K.z^ z^ . . .z„.u\ u% . . .u\„).y- = - i. 



En eftet, d'après le corollaire i, l'équation i 4- ;r- = P aura au plus 

 une seule solution x = x^ qui conformément au théorème i sera déterminée 

 de la manière indiquée. Enfin le nombre i -\- x^- ne peut être mis sous 

 la forme K. z^ "1 . z^'^^ . . . Zn"'" . «, '^i . u./-2 . . u„,^"' que d'u/ie seule manière, 

 parceque s'il y en avait une autre, de telle sorte que 



I•i..~,^ ' . -3 "... «„l' — -TV . -j 1 . ~<j -.,./<, 



ßm 



OÙ ^, , %, . . . u,n sont premiers entre aux, il faudrait nécessairement que 

 a, = a,', «2 = a.2 , . . . ß,„ = ß,,', et il n'y aura donc plus q'un seul système 

 d'exposants a et ß remplissant les conditions exigées, c. q. f d. 



Du corollaire i on tire le théorème suivant: 



