30 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



Théorème 6. 



Parmi les solutions entières positives y de V équation x^ — Dy^ = — i 

 il en est une au plus qui est divisible par les nombres premiers donnés 

 Px Pi • ■ ■ Pn ^^^^ l'être par d'autres nombres premiers. S'il existe une 

 pareille solution y' , elle sera 



y'=PlPi'-'Pn-^X 



oil z^ est la solution foiidamentale z de l'équation 

 x'^-{Dp,^p,\..p,^).z^ = -i. 

 En effet, s'il en était deux, on aurait 



yi^Px^^^-p.^^-'-p:"^ 



d'où 



x-\-x^ = Dp,'-^x.p,'-^i....pr^ 



où Vj, j/g,. . .Vn sont tous entiers > o et ou Xi>.Xj, ce qui d'après le corol- 

 laire I est impossible. 



La dernière partie de la proposition est une conséquence immédiate 

 du corollaire 2. 



Si dans le système (7) tous les exposants a sont >> o on peut trouver 

 une limite supérieure dépendant de n et telle que le système (7) soit 

 toujours impossible si v dépasse cette limite, quelles que soient les valeurs 

 des exposants a. 



En effet, tous les a étant > o, tous les e le sont aussi, et comme 

 nous l'avons vu précédemment, le produit 



Di = Kz^^^Kz/i2...Zn*'' 



ne peut pas avoir plus de 2'" valeurs, les K^,z^,z^,. . .z^ restant les mêmes 

 pour tous les produits. 



Par conséquent, si tous les a sont entiers et positifs, le système (7) 

 sera toujours impossible, si vZ> 2". 



On trouve de même que. 



Si tous les a sont entiers positifs ou = o, le système (7) sera tou- 

 jours impossible, lorsque v Z> J". 



