iSgj. Xo. 2. QUELQL'ES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 31 



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Démonstrations nouvelles d'impossibilité en nombres 

 entiers x, y,>i des équations 



1 + X- = y' et 1 -h X- = 2y" 



où zn et 22 sont des nombres entiers > 1 et où 22 n'est pas 

 une puissance de 2. 



Dû corollaire i du paragraphe précédent on tire comme cas très- 

 particulier : 



Lemme: 



Si K est un nombre entier positif et 2n -\- i impair et > i, les deux 

 équations 



I ^x,} = K.y 



ne peuvent pas être satisfaites simultanétnent en nombres entiers et posi- 

 tifs ;r,, x^, y, > i. 



Ce lemme peut être pris comme point de départ dans Tétude des 

 équations indéterminées de la forme i + ;r,- = A', j'-""^. En effet, pour 

 certaines valeurs de K, une telle équation entraine nécessairement que y 

 satisfasse aussi à l'équation i -|- .r^- = A', j. où x., est entier, et dans ce 

 cas, l'impossibilité de la première équation sera démontrée par le lemme 

 ci-dessus. 



Pareil cas se présente pour Ä'= i et pour K ^= 2 et nous allons 

 traiter ces deux cas. 



i) Sur r équation i -\- x- = y-''*'^. 



L'impossibilité de cette équation a été démontrée par M. Lebesgue, ^ 

 en y appliquant la théorie des nombres entiers complexes de la forme 

 a -\- ib, a qX. b étant entiers et i l'unité imaginaire. La première partie 

 de la démonstration a pour objet de démontrer que y aura la forme 

 \ -\- ä^, a étant entier et la seconde consiste à discuter l'équation qu'on 



^ Voir: Souvdles Annales Je Mathimatiques, I serie, T. Ev, p. 178, 1S50. 



