32 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



obtient en identifiant les quantités réelles et imaginaires dans l'équation 

 correspondante en nombres entiers complexes. 



En supposant connue la théorie des nombres entiers complexes a -j- ib,^ 

 nous allons reproduire en abrégé la première partie de la démonstration. 



L'équation proposée peut s'écrire 



Or, y ne peut pas être pair, puisque i + x^ n'est jamais divisible 

 par 4 et 2« + i > i. Par conséquent, y sera impair et \ -\- x- aussi. 

 Un diviseur premier complexe commun à x -\- i et x— i divisera li et 

 \ -\- x^ et sera donc égal à une unité (= ± i, ±. z), c'est-à-dire que x -^ i 

 et x — i seront premiers entre eux. 



Mais alors, il faut que 



d'où 



t{x-^i) = {a + z/î?)2«+i 



où E est une unité, et a et /^ des nombres entiers tels que a^-yß'^^y. 

 En développant le binôme, on a 



où M et N sont des nombres entiers. En substituant cette valeur et en 

 identifiant les quantités réelles et purement imaginaires aux deux membres 

 de l'équation ci-dessus, on voit, qu'il faut que 



(xM = ± I , d'où a = ± I 

 ou {^N = =b I , d'où /i = ± I 



c'est-à-dire que l'un des nombres a, ß doit être = rb i. Par conséquent 

 on aura 



a étant entier, ce qui est la première partie de la démonstration. 



Cela posé, notre lemme démontre immédiatement l'impossibilité de 

 l'équation; en effet, les deux équations 



I +«2_^ 



ne peuvent pas être satisfaites simultanément en nombres entiers i et par 

 conséquent, la première équation sera impossible. 



1 Voir p. ex. : LejeuNE Dieichlet : Recherches sur les formes quadratiques a coeffi- 

 cients a à indéterminées complexes, dans le Journal de Grelle pour 1842. 



