l897- >*^0- 2- QUELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 33 



D'un autre côté, l'équation i -\-x^=y^» sera évidemment impossible, 

 parceque la différence de deux carrés différents de zéro n'est jamais = i. 

 Nous avons ainsi démontré le théorème dû à M. LebesguE: 



Théorème 7. 



L équation i -\- x^ =j'" est impossible en nombres entiers x, y,^ 1, 

 lorsque n est entier et z> i. 



2) Sur l'équation i -\- x^ = sjj/^"*"*. 



Dans mon mémoire: Solution complète en nombres entiers m, n, x, y, k 



l I Tt . 



de r équation m arc tg --\- n arc tg -= k —, Christiania Videnskabsselskabs 

 X j' 4 



Skrifter i8gs, j'ai démontré l'impossibilité de cette équation pour des 

 valeurs entières x, y,'> i, lorsque 2n -\- i est impair et > i. 



Comme M. Lebesgue, j'y ai appliqué la théorie des nombres entiers 

 complexes a -f- ià et j'ai prouvé d'abord qu'il faut que y soit la somme 

 de deux carrés successifs et ensuite que l'équation correspondante en 

 nombres entiers complexes devient alors impossible. Dans la dernière 

 partie de la démonstration, j'ai applique la méthode exposée au para- 

 graphe I. 



Mais j'ai remarqué récemment, que la première partie de ma démon- 

 stration offrait une petite lacune, qui est d'ailleurs sans influence sur le 

 résultat, et que j'ai corrigée par une note au § i de ce mémoire. 



Je vais reproduire ici, en la modifiant un peu, la première partie de 

 la démonstration et faire voir comment le lemme ci-dessus peut remplacer 

 la dernière partie de la démonstration. 



Soit donc 



I -\-x^==2y-*^^ 



où X et y sont entiers et positifs, > i. i -\- x- étant pair, x sera impair 

 = 2ç + I, d'où 



qui peut s'écrire 



[? + (?+ i>].[(' - (€» H- i>] -=j3nti. 



Or, un diviseur premier complexe commun à q -\. [q -{. {si et 

 Q-{q^\)i divisera 2q, 2{q -\- i)i et ^2 + (^ -^. 1)2 et doit se réduire 

 à une unité parceque ^ et (p + 1) sont premiers entre eux et que 

 C" + (? + i)" est impair. Il faut donc que 



VicL-Selsk. Skrifter. M.-N. Kl. 1897. No. 3. 3 



