34 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



où £ est une unité, et a et /? des nombres entiers tels que 



comme on le voit en prenant les normes aux deux membres. 



En identifiant les quantités réelles et purement imaginaires aux deux 

 membres on aura 



£(a + 2/^^)2« + 1 H- €\a - 2/3)2'* + 1 = 2Q 



€{a H- 2/3)2" + 1 - £\a - 2/î)2» + 1 = 2qi -j- 2i 



€ étant conjugué à e'. En éliminant q, il vient 



e{i —i){a + //3)2« + i - £'(i -\-t){a- tßf**^^ = 2Ï. 



En remarquant que «' = d= «, i -\- i = i{i — z) et que 2? = (i -f- ?)2, 

 on aura en substituant ces valeurs et en divisant par é( i — i) : 



(a + z/î)2"+i dr ï(a - ißf"^^ = £i(i + i) 



où £| est une unité. Or, 2« -|- i étant impair, on a 



(ß 4- 2a)2« 1 1 = i2n*iÇa - ißf" + ^ = ± /(a - 2/?)2« + 1 

 d'où 



(a + î/9)2" + i ± (/? -h 2a)2« + i = £,(i + 0- 



Or, le premier membre est divisible par 



(a + iß) ± 09 + za) = (a ± /?) ( I ± 

 et il faut donc que ce nombre divise €,(i + i), et l'on aura 



(a±/S)(i±0 = e2(i+0 

 d'où, en divisant par i d= /: 



a±/? = «3 



«j étant une unité, qui doit se réduire à± i, parceque le premier membre 

 est réel. Il faut donc que 



a = ±OS±i) 

 d'où 



c'est-à-dire que 



V sfra la somme de deux carrés consécutifs. 



