36 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



S 6. 



Solution complète en nombres entiers x, X^ Xi . . . Â,, de 

 réquation: 



^ arc tg - = Al 9?i H- ^ 9?2 + • • • H- ^ 9^» 



(Pi (pi . . . (fn étant des arcs donnés, dont les tangentes sont 

 rationnelles. Nombre fini de solutions. 



Dans mon mémoire déjà cité, Sur r application de la théorie des 

 nombres entiers complexes à la solution en nombres rationnels 

 x^, x^, . . . Xn, Cl, c^, . . . Cn, k de V équation: 



c, arc tg x^ + <:3 arc tg ^Tg + . . . + c^ arc tg ;r„ = >è - 



j'ai trouvé la condition nécessaire et suffisante pour que les nombres 

 x^ x^, . . . Xn, c^ c^, . . . Cn, k satisfasseut à cette équation. (Voir 1. c. p. 20). 

 En effet, j'ai trouvé le théorème suivant: 



Pour que les nombres entiers a^ . . . a^, b^ . . . b^ satisfassent à 

 réquation 



Cy arc tg -i + ^a arc tg -^ H- . . . + <:„ arc tg - = yè - 



aux 



multiples de - prés, a^ et b^, a^ et b^, ... étant respectivement pre- 

 miers entre eux, c^ c^, . . . c„ des nombres entiers positifs et k = o ou 

 k= i, il faut et il suffit que 



a,^+b,^ = 2^i.A1«iI . . ..pj''^^ . . . ./J^il 

 Ä^a _|_ ^^2 _ 2^2.^J«2l . . . .pj'^2\ , . . ,pje2\ 



ar? + K'- = 2^« . aI«»»! . . . .pJ"-\ . . . .psM 



où ôi, ô^, . . . on sont = ou = I de telle manière que 



Ci\-\-Ciài-\- ...-\-c^àr,-\-k 



soit pair, p^, ... /„„ . . . ps sont des nombres premiers de la forme 

 4h -\- I. Enfin Vp Vg, . . . v„ sont des nombres entiers positifs, négatifs 

 ou = 0, assujettis à la relation 



