l897- No. 2. QUELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 37 



Cl Vi -{- C^ V^-^ . . . -\-CnVn = (8) 



ei \v\ désigne comme d' ordinaire la valeur absolue de v, 

 — et Ç7ie ai bf, — a^ b^ n'' étant divisible par le nombre premier Pm que 

 si le produit correspondant v^.v^ est positif, l'un des exposants \vi\ et \vft\ 

 étant z> o. 



Nous allons appliquer ce théorème à l'équation 



^ arc tg j = Ài g?! + ^ 9?a H- . . . H- A„ 97«, 



où Afl, A,, . . . Aw sont des nombres entiers ou = o et où (pi, cp^, . . . <pn sont 

 des arcs donnés, dont les tangentes sont rationnelles. 

 L'équation peut s'écrire 



X^^ arc tg i + Al' arc tg -i + . . . . -h A,/ arc tg f = o 



où Æ, et ^,, . . . an et b„ sont des nombres entiers respectivement pre- 

 miers entre eux et où Aq', A/, . . . A„' sont les valeurs absolues des nombres 



A,, A3, ... An- Alors, les —, ... — seront aux signes prés les tangentes 



Äj a^ 



des arcs respectifs (p^, ... çp„. 



Les çr)j, (p^y ... çr)„ étant donnés, les nombres a^ -\- b^^, a^ -\- b^, . . . 

 a^ -\- b^ le seront aussi. Je désignerai par 



Pv A Pi 



tous les nombres premiers impairs qui divisent a^ + b^, a^ -f- b^, . . . 

 a„^ -\- b^, et qui sont alors donnés en même temps que les arcs (p. 



Tout diviseur premier impair de i -\- x^ se trouverait parmi ces 

 nombres premiers p. En effet, soit q un nombre premier impair qui divise 

 I -f- ■*"^j mais qui ne se trouve pas parmi les nombres premiers /. Soit 

 V l'exposant de la plus grande puissance de q, qui divise i -|- x'^. En se 

 rappelant, qu'aucun des nombres a^ -\- b'^ n'est divisible par q, et en 

 appliquant la relation (8), on aura: 



±Afl.v=fco.A,=to.A,± ... zbo.A„ = o 



et par conséquent, A^ étant > o par l'hypothèse, il faut que 



v = o 



c'est-à-dire que \ -\- x^ ne peut être divisible par q, c. q. f. d. 



Par conséquent, tout est ramené à trouver tous les nombres entiers 

 de la forme i -\- x^, dont tout diviseur premier impair se trouve parmi 



