1897. No. 2. QUELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 39 



De ces solutions on peut déduire une foule de décompositions de — 

 en sommes d'arcs-tangentes ; voici quelques-unes des plus remarquables: 



5 arc tg - H- 2 arc tg -^ - 2 arc tg — = - 



5 arc tg ^ + 2 arc tg -^ -h 3 arc tg ^ = ^ 



1 2 arc tg -^ -4- arc tg â arc tg — = — 



^ I? ^ 57 ^ ^ 239 4 



dont la dernière a aussi été trouvée par Gauss^. 

 Enfin, en remarquant que 



arc tg ^^ = 2 arc tg ;^Tr + arc tg — 

 on déduit de la dernière des solutions ci-dessus : 



20 arc tg ^ + 24 arc tg ^ + 12 arc tg -^ - 5 arc tg -^ = ^. 

 j5/ Ö8 iiy 239 4 



§ 7. 



Théorèmes divers sur les nombres de la forme x- — 1. 

 Application à la théorie de l'équation de Pell 



De même que, du théorème i, nous avons déduit les propriétés des 

 nombres de la forme i + x-, on trouvera des propriétés analogues pour 

 les nombres de la forme x^ — i en faisant usage du théorème 2. Le 

 calcul étant tout-à-fait le même, nous ne signalerons que les résultats 

 principaux : 



Théorème 9. 

 St V équation 



x-—j= Ka^'^^■ . öj«^ a^ 



est possible en nombres entiers positifs x, a^, a^,. . . a„, les nombres entiers 

 positifs K, a^, a^,. . .an étant donnés et tous les a > /, elle n'aura qu'un 



1 Voir: Gauss, Webke II, Göttiagen 1873, p. 525. 



