40 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



nombre fini de solutions x, qui se trouvent toutes parmi les solutions 

 fondamentales x des équations de Pell: 



x^-D^y^= I 

 x^ — D^y^ = I 



x'^-Dvy'^=^\ 



oîi D^, D^, ... Dv sont toutes les valeurs du produit K a^'^'^ . a^^^ . . . a^'^ 

 quand les e sont faits de toutes les m.anières possibles = / et =2. 

 Le nombre de solutions ne peut pas dépasser 2". 



A l'aidé de ce théorème, les problèmes suivants se trouvent complète- 

 ment résolus : 



\) K, a^, a^, . . . ttn étant des nom.br es entiers donnés, trouver toutes 

 les valeurs entières positives des exposants a,, a^, ... a„ pour lesquels le 

 produit 



Ka^'^.a^'^'i «„"" 



est le produit de deux nombres efttiers dont la différence est 2. 



{=x^~i). 



2) Trouver tous les nombres entiers de la forme x^ i, qui sont divi- 

 sibles par les nombres premiers /,, /g, , . . /„, sans V être par d'autres 

 nombres premiers. 



3) Trouver tous les nombres entiers de la forme x^ i , dont tous les 

 diviseurs premiers se trouvent parmi les nombres premiers /, , p^, ... /„. 



4) Trouver tous les nombres entiers de la form.e x" — i , dont le plus 

 grand diviseur premier est /„. 



En effet, comme pour les nombres entiers de la forme i -|- x'^, on 

 trouve pour chaque problème un nombre fini de solutions qui de dédui- 

 sent des solutions fondamentales d'un nombre fini d'équations de Pell 

 x^ — Dy^ = I. Comme les solutions fondamentales de l'équation de Pell 

 peuvent toujours être trouvées par une méthode bien connue 1, les problèmes 

 ci-dessus se trouvent complètement résolus. 



1 Voir p. ex. Legendee : Théorie des nombres I, § 5 et 6. 



