iSgj. y 0.2. Qvm.QVEs théoré^œs sto l'équation de pell. 43 



quand e, , £j. . . . £„ sonf supposés = i et = 2 de toutes les manières 

 possibles. Le nombre des solutions ne peut pas dépasser 2". 



A l'aide de ce théorème on résout complètement les problèmes 

 suivants : 



i) Trouver tous les n&tnbres triangulaires divisibles par les nombres 

 premiers p\, p%, ■ - • pm sans Pètre par d'autres nombres premiers. 



2 Trouver tous les nombres triangulaires dont les diviseurs pre- 

 miers se trouvent parmi les nombres premiers Py. p^, ... /«• 



3) Trouver tous les nombres triangulaires dont le plus grand divi- 

 seur premier est />„. 



En efifet, on aura pour chaam de ces problèmes un nombre fini de 

 solutions, qui peuvent toutes être trouvées en cherchant les solutions 

 fondamentales d'im nombre fini d'équations de Pell x^ — Dy- ^= i, opéra- 

 tion qui, on le sait, est toujours possible^. 



De même que dans le § 3, on peut trouver pour chacun de ces pro- 

 blèmes des limites supérieures du nombre des solutions. 



Par analogie avec le théorème 4, on a: 



Théorème 12. 



Quelque grand que soit le nombre positif P, on peut toujours trouver 

 un autre nombre Mp, tel que tout nombre triangulaire z> Mp contienne 

 toujours un diviseur premier > P. 



D suffit pour cela de poser Mp = Ty, où Tr est le plus grand de 

 tous les nombres triangulaires dont les diviseurs premiers sont <P et qui, 

 d'après ce qui précède, sont en nombre fini. Cette limite Tt- est aussi la 

 plus basse de toutes les limites Mp du théorème. 



Comme application de ces méthodes, nous allons rechercher tous les 

 nombres triangulaires dont tous les diviseurs premiers sont < 5. 



Les nombres premiers < 5 étant 2, 3 et 5 on aura à résoudre com- 

 plètement l'équation 



'A±2l^2- .S,y 



2 



ou, ce qui revient au même, 



(2/+l)2-I =2« + ^3^.5/ 



1 Voir p. ex. Legfxdre : Théorie des nombres F, $ 6. 



