1 897- ^^^O- 2. QUELQUES THÉORÈMES SUR L'ÉQUATION DE PELL. 47 



r, = K. s, ^^2 . 5,< . . . ^/"' . «, A' . u,^' . . . «„^'"' 



où K est un nombre entier positif, ne peuvent pas être satisfaites simul- 

 tanément en nombres entiers /", , 7",. 5, , ^,, . . . s„, «,,«,,... «„. /^«^ > / 

 et 7^1 ^^ 7^3 ^/ö«/ en outre des nombres triangulaires différents entre eux. 

 On en tire: 



Corollaire 5. 



Si K, s^,2^, . . .s„, «, , //j. . . . //„, sont des nombres entiers positifs donnés^ 

 les z et les u étant tous premiers entre eux et z> i, et a^, a^, . . . a„, 

 ,ip jj, . . . ßm étant des exposants entiers positifs uniquement soumis à la 

 condition, que tous !es a soient impairs et tous les ß pairs, le produit 



P=K.Zy°^.Zi'^.. .z^'^.u^ß^..u^^.. .uj^ 



sera triangulaire pour un seul système au plus d'exposants a,, Oj. . . .a„, 



, , . /.,/-!- i) > . , s , 



ßi. ß^, ... ßm ^t sera alors egal a -^ -, ou 2t -\- i est egal a la 



solution fondamentale x de V équation de Pell: 



x^ — {2K.z^.z^...z^.u^-.}^^. ..uj).y- = I. 



Afin de rappeler la méthode générale de démonstration employée 

 précédemment, nous allons démontrer ce dernier corollaire directement 

 par le théorème 2. 



Pour tout a, et ßj on peut poser a, = i + 2q,. ßj = 2 -^ 20j où 

 Qi et Gj sont entiers et positifs ou ^= o. Alors le produit P peut s'écrire 

 P=D.A- en posant 



K.z^ . 3, ... z„ . //,- . /^j2 _j^j^D\ 



( (10) 



^,?l. V-- • .^n^^.U^^'KU^''^. . .W^*^"' = A I 



Il faut démontrer que parmi le nombre infini des valeurs de P corres- 

 pondantes à toutes les valeurs entières et positives ou = o des exposants 

 Q et o, il j en aura au plus une seule qui sera triangulaire. En efi'et, si 



P = D .A- est égal au nombre triangulaire -^^ -, t étant entier et positif, 



il vient 



{2t-\-\\^-2D{2Af=l 



et 2 A sera ainsi une solution y de l'équation de Pell x-— 2Dy- = i, ayant 

 d'après les équations [\<S) la propriété, que tout diviseur premier de 2A 

 le sera aussi de 2D et. conformément au théorème 2, parmi le nombre 

 infini des valeurs de 2 A, il _y en aura ïine au plus qui satisfera à ces 



