48 C. STØRMER. QUELQ. TH. SUR L'ÉQ. DE PELL. M.-N. Kl. 1897. No. 2. 



conditions, savoir 2 A — y^^, où j, est la solution fondamentale y de l'équa- 

 tion x^ — 2Dy'^ = I . Par conséquent, /a seule valeur triangulaire de P 



sera, si elle existe, P = \ 2t + i étant égal à la solution fonda- 



mentale X de cette même équation. 



Enfin, les nombres entiers donnés Zy, z^, ... ^„, u,, u^, . . . «^ étant 

 tous > I et premiers entre eux, il n'y aura çu'un seul système d'expo- 

 sants a,, aj, ... «„, ß\, ß^, . . . ßm correspondant à cette unique valeur de 

 P, comme nous l'avons vu plus haut dans la démonstration du corol- 

 laire 2 (p. 29). 



Un cas très-spécial du corollaire 4 est le suivant: 



Si a est un nombre entier Z> i, et m et n des exposants positifs 

 différents entre eux et tous les deux pairs ou tous les deux impairs, les 

 puissances rt"" et a" ne peuvent pas simultanément être triangulaires. 



Si plus spécialement, on fait m^= i, on en tire: 



Théorème 14. 



Si T est un nombre triangulaire > r, T" n'est jamais triangulaire, 

 quand n est impair et > i . 



On pourrait encore déduire plusieurs théorèmes spéciaux intéressants, 

 mais cela nous entraînerait trop loin. 



De même que nous avons dans ce mémoire développé des théorèmes 

 sur l'équation x'^ — Dy'^ = ± i et que nous en avons tiré les conséquences, 

 on pourrait trouver des théorèmes analogues sur l'équation plus générale 

 x'^ — Dy^ = i (>^ q étant entier, et en déduire plusieurs théorèmes intéres- 

 sants. J'espère pouvoir ultérieurement continuer cette analyse et l'étendre 

 également aux équations x^ — Dy"^ = dL H oix //est un nombre entier 



quelconque. 



Christiania, janvier 1897. 



Errata: 



p. 3, ligne 9 en remontant, au lieu de x^, lisez .r^. 



- 3, ligne 8 en remontant, au lieu de .Vj , lisez x. 



- 3, ligne 3 en remontant, au lieu de et aussi dans les Comptes-Rendus, lisez Voir aussi 



les Comptes-Rendîis. 



- 9, ligne 6 en remontant, au lieu de p^^ax-^, lisez p^ax^^'*'. 



- 16, ligne II, au lieu de tous > /, lisez tous les a > i. 



- 28, ligne 5, au lieu de est 0, lisez est :> 0. 



- 32, ligne 4 en remontant, au lieu de entiers i, lisez entiers > i. 



- 29, ligne 16, au lieu de et ce système sera donné, s'il existe, par la décomposition en 



facteurs du nombre . . . , lisez et la valeur correspondante de P sera égale, si elle existe, 



(Imprimé le 27 avril 1897). 



