^ L. SYLOW. M.-N. Kl. 



On sait que G contient p + i sous-groupes de l'ordre p7t, qui sont 

 les transformés de l'un d'entre eux par les substitutions de G, et qu'aucun 

 de ces sous-groupes n'est permutable à une substitution de G qui lui est 

 étrano-ère. Je suppose les éléments Xi rangés dans un tel ordre que l'un 

 des sous-groupes, que je désigne par L^, contienne les p7C substitutions 



\i a'''i^-b\, 



l'indice i étant pris suivant le module /, et je désigne par s^ la substi- 

 tution \i i-\- \\. 



Soit maintenant /.^ un autre quelconque des sous-groupes d'ordre pre, 

 contenant la substitution circulaire s^, et soit en général Lr le groupe 

 transformé de L^ par ^^, de sorte que L^, L^, Z,, . . . Z-^,_i soient tous 

 les p -\- i groupes d'ordre pn contenus dans G, Ly contenant la substi- 

 tution circulaire Sr, oii 



— r r 



Si l'on transforme les groupes Zj par les substitutions de G, ils subis- 

 sent un groupe de substitutions, r, holoédriciuement isomorphe à G. En 

 effet, si l'isomorphisme n'était pas holoédrique, les substitutions de G per- 

 mutables à tous les Lk devraient former un sous-groupe invariant, H, de 

 G\ mais, G étant primitif, H serait transitif, donc il contiendrait une des 

 substitutions circulaires et, par suite, toutes, ce qui est absurde. 



Dans la suite je désignerai par les lettres grecques correspondantes 

 les sous-groupes et les substitutions de T, de sorte que Ar corresponde à 

 Lf, Gr à Sr. Ar cst douc le sous-groupe de F qu'on obtient en transformant 

 les L], par les substitutions de Lr, c'est-à-dire que Ar contient les substi- 

 tutions de r qui ne déplacent pas Lr. Puisque en général L), ne possède 

 d'autres substitutions circulaires que les puissances de S]^, on voit immédiate- 

 ment que 



G^ = \k k^\\. 



L^ contient en outre la substitution 



OD 



/ = 1 2 ^'i I , £ étant une racine primitive de /, 

 qui transforme s^ en s^^ ; en supposant qu'elle transforme s^ en /', on a 



t Ski = t S^ Sf^ S^t — S^ SaS^ — S 



e^-k + a 



En posant y ^ f^y + Æ, on voit donc que / transforme s. en /", d'oi^i 

 l'on conclut que t est aussi contenue dans Lj. Or, le groupe désigné par 



