1 897- No. 9. SUR LES GROUPES DU DEGRÉ p ETC. 5 



/,„ n'étant assujetti à aucune autre condition que d'être différent de L^, 

 on peut supposer t contenue dans L^ et L^, ce qui donne «^o; cela 

 étant, on a 



La substitution x de F, correspondant à /, a donc la forme 



X=z\k £^'k I , 



et les substitutions de yi^ sont les 



I ^ s^n'k + ^ I , ou bien les ] k dJ^k + ^ | ; 



c'est la même expression que celle des substitutions de Z,^, avec la diffé- 

 rence que l'indice k est susceptible des valeurs 00, o, \, . . . . p — i, 

 tandis que l'indice i \arie seulement de o à / — i. Les substitutions de 

 r qui ne déplacent ni L^ ni L^ sont donc les tv substitutions | k a^k \ , 

 régulières par rapport aux lettres Z,,, L^, . . . Z^p-i. F étant évidemment 

 deux fois transitif, on tire de ce qui vient d'être dit la conclusion impor- 

 tante que chaque substitution de F déplace au moins p — / des lettres L^. 

 Le groupe G en contient un autre G^ d'ordre (/ + \)7t, qui ne dé- 

 place pas Xç^; considérons maintenant le groupe correspondant Fq contenu 

 dans F. Dabord Fq est de l'ordre [p + iW et transitif; car puisque dans 

 Gq il n'y a que les -rt puissances de / qui soient permutables au groupe 

 L^, les p -\- i groupes Lj, se déduisent tous de L^ en le transformant 

 par les substitutions de G^. Puis, les substitutions de Fq qui ne déplacent 

 pas L^ étant les puissances de r, lesquelles ne déplacent pas non plus 

 Lq, et sont régulières par rapport aux L^, L^, . . . . Z^p-i, on voit que Fq 

 est imprimitif, les p -\- i L^ se répartissant, d'une seule manière, en 

 \{p -{- 1) systèmes binaires. En transformant Fq par les puissances de 

 0^ on a les p groupes de l'ordre {p + \)it contenus dans F: 



Fq, /\, .... Fp — X 



et l'on voit que dans Fr L^ est conjugué à Ly. Si maintenant L^ et Lr 

 étaient aussi conjugués dans un autre des groupes r„ celui-ci admettrait 

 deux répartitions différentes en systèmes d'imprimitivité binaires, ce qui 

 n'a pas lieu. Le groupe F étant deux fois transitif, on conclut que chaque 

 paire des lettres L^ sont conjuguées dans mi des groupes Fi, et dans 

 un seul. 



Je vais maintenant rechercher si deux indices appartenant à un même 

 cycle de r, tels que é"-^'^'' et £^« -^ *)^' -'- »", peuvent être conjugués dans le 

 groupe Fq. Les puissances de x devant remplacer toute paire d'indices 



