L. SYLOW. M.-N. Kl. 



conjugués par une autre, il faudra alors que e soit conjugué à t*^'**', 

 celui-ci à e^*^'"^*", ce qui donne 



,267r' + r 



= £'', d'où £*^'^ — 



Dans ce cas l'indice e^ est conjugué à — «'', donc — i doit être un 

 résidu de la tz/««»"« puissance, et par conséquent it est un nombre pair. Si 

 maintenant tout indice, oc et o exceptés, est conjugué à un autre contenu 

 dans le même cycle de r, il faudra que généralement k soit conjugué à 



— k; de plus TJ] contiendra la substitution r?, ou |/& — k\, qui remplace 

 tout indice par son conjugué, excepté oo et o. Par conséquent r^, étant 

 transitif, contiendra aussi une substitution qui ne déplace pas i et — i, 

 en remplaçant tout autre indice par son conjugué. Le produit des deux 

 substitutions est (xi o) (i — i), qui ne déplace que 4 lettres; mais puis- 

 que toute substitution de F déplace p — i lettres au moins, cela n'est 

 possible que pour p ^ ^. En supposant / > 5, on est donc sûr d'avoir 

 une paire d'indices conjugués, telle que e'^ et é'^"'^ , c et d étant deux 

 nombres différents moindres que 7t'. Alors e'^k^ et f.^-^^'^ k'^ sont conju- 

 gués dans le groupe l\, et e^k" -\- r est conjugué à e^^"^^ k"' -\- r dans le 

 groupe Fr. En posant 



^c},n' j^r=a , e"^"- ''''k''' -\-r = ß, 

 on a 



_ a — ß _ aé*'''' — ße' _ 



'■-"' ' ^ £dH-e^'_^, 



si, au contraire, on fait 



on a 



j^' = /g — « ^/ ^ /!?«'"''' — ««'' 



£- £ 



Si — I était un résidu, il serait possible de satisfaire au second 

 système de congruences, toutes les fois qu'on a satisfait au premier. Par 

 cela a Qt ß deviendraient conjugués dans deux groupes différents Fr et Fr', 

 ce qui est impossible, comme on l'a vu plus haut. Donc — i ne peut 

 pas être un résidu de la tt'*'^'"^ puissance, et par suite 71: est un nombre 

 impair; deux indices, conjugués dans le groupe F^, ne se trouvent jamais 

 au même cycle de la substitution t. 



